台形公式の考え方は簡単であるが、精度はあまりよくない。そこで、よく似た考え方で精
度が良いシンプソンの公式を説明する。台形公式は、分割点の値を一次関数(直線)で近似
を行い積分を行った。要するに折れ線近似である。ここで、1次関数ではなく、高次の関
数で近似を行えばより精度が上がることは、直感的に分かる。
2次関数で近似を行うことを考える。2次関数で近似するためには、3点必要である。3つの
分点をそれぞれ、
とする。そして、この2次関数をと
する。はラグランジュ補間に他ならないので、
となる。図
3に示すとおりである。
図 3:
元の関数を区間
を2次関数で近似する
|
これを、区間
で積分する。紙面の都合上、式
(11)の右辺を各項毎に積分を行う。まず、右辺第1項で
あるが、それは以下のようになる。
同様に、第2,3項を計算すると
式(11)右辺第2項の積分 |
|
(12) |
式(11)右辺第3項の積分 |
|
(13) |
となる。以上より、近似した2次関数
の範囲
の積分は、
となる。
これは、ある区間
の積分で、その巾はである。区間にわ
たっての積分は、式(15)を足し合わせればよい。ただし、
と足し合わせる。
これが、シンプソンの公式と呼ばれるもので、先ほどの台形公式よりも精度が良い。精度
は、
に反比例する。
この式から、分割数は偶数でなくてはならないことがわかる。これに注意して、プロ
グラムを作成しよう。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成17年1月25日