5 ガウス・ザイデル法

ヤコビ法の特徴では， $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$ の近似値は，すべてその前の値 $\boldsymbol{x}^{(k)}$ を 使うことにある．大きな行列を扱う場合，全ての $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$ と $\boldsymbol{x}^{(k)}$ を記 憶する必要があり，大きなメモリーが必要となり問題が生じる []．今では，個人で大きなメモリーを使い計算することは許されるが，ちょっと前まで はできるだけメモリーを節約したプログラムを書かなくてはならなかった．

そこで， $\boldsymbol{x}^{(k+1)}$ の各成分の計算が終わると，それを直ちに使うことが考えば， メモリーは半分で済む．即ち，$x_i^{k+1}$ を計算するときに，

$$\begin{multline} x_i^{k+1}=a_{ii}^{-1}\left\{b_i-( a_{i1}x_1^{(k+1)}+a_{i2}x_2... ...+2}^{(k)}+a_{ii+3}x_{i+3}^{(k)}+\cdots+ a_{in}x_n^{(k)})\right\} \end{multline}$$

とするのである．実際の計算では，k+1番目の解は

$$\begin{aligned}&x_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left( a_{12}... ...)}+\cdots+a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)}\right)\right\} \ \end{aligned}$$

と計算できる．これが，ガウス・ザイデル法である．

このガウス・ザイデル法は，k番目とk+1番目の解を混ぜて使うという，大胆なことをやっ ているが，研究の結果，収束条件はヤコビ法とほとんど同じと言うことである．ヤコビ法 と比べてどちらが良いかというと

• メモリーの節約を考えた場合，ガウス・ザイデル法に軍配が上がる．
• 計算速度では，ガウス・ザイデル法の方が早いと思われる．

となる．ヤコビ法を使うよりは，ガウス・ザイデル法を使う方が良いであろう．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志