3 シンプソンの公式

台形公式の考え方は簡単であるが，精度はあまりよくない．そこで，よく似た考え方で精 度が良いシンプソンの公式を説明する．台形公式は，分割点の値を一次関数(直線)で近似 を行い積分を行った．要するに折れ線近似である．ここで，1次関数ではなく，高次の関 数で近似を行えばより精度が上がることは，直感的に分かる．

2次関数で近似を行うことを考える．2次関数で近似するためには，3点必要である．3つの 分点をそれぞれ， $(x_j,\,x_{j+1},\,x_{j+2})$ とする．そして，この2次関数を$P(x)$ と する．$P(x)$ はラグランジュ補間に他ならないので，

$$\begin{multline} P(x)=\frac{(x-x_{j+1})(x-x_{j+2})}{(x_j-x_{j+1})(x_j-x_{j+2})}... ...rac{(x-x_j)(x-x_{j+1})}{(x_{j+2}-x_j)(x_{j+2}-x_{j+1})}f(x_{j+2}) \end{multline}$$

となる．図3に示すとおりである．

図 3: 元の関数を区間 $[x_j,x_{j+2}]$ を2次関数で近似する

これを，区間 $[x_j,\,x_{j+2}]$ で積分する．紙面の都合上，式 (11)の右辺を各項毎に積分を行う．まず，右辺第1項で あるが，それは以下のようになる．

$$% latex2html id marker 840 \begin{aligned}\text{式(\ref{eq:sim... ...i^2}{2}+2h^2\xi\right]_0^{2h}\\ &=\frac{h}{3}f(x_j) \end{aligned}$$

同様に，第2,3項を計算すると

$$=\frac{4h}{3}f(x_{j+1})$$ 式(11)右辺第2項の積分 (12)

$$=\frac{h}{3}f(x_{j+2})$$ 式(11)右辺第3項の積分 (13)

となる．以上より，近似した2次関数$P(x)$ の範囲 $[x_j,\,x_{j+2}]$ の積分は，

$$\int_{x_j}^{x_{j+2}}P(x)dx =\frac{h}{3}\left\{f(x_j)+4f(x_{j+1})+f(x_{j+2})\right\}$$ (14)

となる．

これは，ある区間 $[x_j,\,x_{j+2}]$ の積分で，その巾は$2h$ である．区間$[a,\,b]$ にわ たっての積分$S$ は，式(15)を足し合わせればよい．ただし， $j=0,2,4,6$ と足し合わせる．

$$\begin{aligned}S&=\frac{h}{3}\left\{f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right... ...\left.\cdots+2f(x_{N-2})+4f(x_{N-1})+f(x_N)\right\} \end{aligned}$$

これが，シンプソンの公式と呼ばれるもので，先ほどの台形公式よりも精度が良い．精度 は，$N^4$ に反比例する．

この式から，分割数$N$ は偶数でなくてはならないことがわかる．これに注意して，プロ グラムを作成しよう．

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著者: 山本昌志