2 電気回路

[問1]

図の回路の両端AB間に電圧$V$ をかけたとき、図の電流$I_0$ の強さを最小にするには、P 点の位置をCD間のどこにすればよいか。

教科書にならいCP間の抵抗を$X$ とする。すると、PD間の抵抗は$R_1-X$ となる。あとは、 キルヒホッフの法則を使えば計算できる。左の回路 に流れる電流を$I_i$ 、右の回路に流れる電流を$I_0$ とする。すると、以下の連立方程式

$$V-I_1X-(I_1-I_0)R_2=0$$

$$-(I_0-I_1)R_2-I_0(R_1-X)=0$$

が成り立つ。これから、$I_0$ を求めることになるが、めんどくさいのでMathematicaを使 う。すると

$$I_0=\frac{R_2V}{-X^2+R_1X+R_1R_2}$$

となる。

この電流を最小にするためには、分母を最大にする必要がある。幸いなことに、分母は上 に凸な二次関数なので、最大値がある。導関数がゼロの場合で、

$$-2X+R_1=0$$

となる。したがって、

$$X=\frac{R_1}{2}$$

となり、丁度、$R_1$ の中点にPにすればよい。

[問2]

起電力が$\phi^e$ 、内部抵抗が$r$ の$n$ 個の電池を直列または並列に接続し、これを抵 抗$R$ につないだとき、それぞれの回路を流れる電流の強さを求めよ。

$n$ 個直列につないだ場合は、$n\phi^e$ の電圧が$nr$ の抵抗と$R$ の抵抗に印可されたと 考える。したがって、この場合、流れる電流は、

$$I=\frac{n\phi^e}{nr+R}$$

となる。

並列につないだ場合の抵抗$R$ に流れる電流を$I$ とする。すると、各電池に流れる電流は $I/n$ となる。オームの法則とキルヒホッフの法則を使うと、

$$\phi^e-\frac{I}{n}r-IR=0$$

となる。これから、電流は、

$$I=\frac{n\phi^e}{r+nR}$$

となる。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志