2 周期$2L$の周期関数のフーリエ級数

前回，周期$2\pi$のフーリエ級数を学習した．ここでは，さらに一般化し，任意の周期 $2L$の場合のフーリエ級数を求める．せっかくなので，前回の周期$2\pi$のフーリエ級数 を利用することにする．周期$2\pi$の関数$f(x)$は，

$$f(x) =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$ (1)

$$\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \,\mathrm{d}x\qquad \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx \,\mathrm{d}x$$

とフーリエ級数で表せる．これを，任意の周期$2L$に拡張する．

図1のような周期$2L$の関数$g(x)$を考える．この関数の横軸 を$\pi/L$倍すると，図2のような周期$2\pi$の関数$f(x)$ ができあがる．したがって，この$f(x)$は式(1)のようにフー リェ級数で表すことができる．

図 1: $2L$を周期とする関数$g(x)$

図 2: 周期$2L$の関数$g(x)$のx軸を圧縮して作成した$2\pi$を周期とする関数$f(x)$

ところで，関数の横軸を$\pi/L$倍するということはどういうことであろうか?．図から も分かるように，次の関係

$$f(x)=g\left(\frac{Lx}{\pi}\right)$$ (2)

が成り立つことに他ならない．直感的に理解できない--というならば，$x=2\pi$として みよ． $f(2\pi)=g(2L)$となることが分かる．

ここで，$f(x)$は$2\pi$の周期関数なので，式(1)のようにフー リエ級数で表すことができる．一方で，関数$g$と$f$は式(2)の関 係がある．ゆえに，

$$g\left(\frac{Lx}{\pi}\right) =\frac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+a_3\cos 3x+\cdots +b_1\sin x+b_2\sin 2x+b_3\sin 3x+\cdots$$ (3)

$$\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g\left(\frac{Lx}{\pi}\rig... ...\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g\left(\frac{Lx}{\pi}\right)\sin nx \,\mathrm{d}x$$

となる．ここで，$X=Lx/\pi$と変数変換する．すると，

$$g(X) =\frac{a_0}{2}+a_1\cos \frac{\pi X}{L}+a_2\cos \frac{2\pi X}{L}+a... ..._1\sin \frac{\pi X}{L}+b_2\sin \frac{2\pi X}{L}+b_3\sin \frac{3\pi X}{L}+\cdots$$ (4)

$$\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(X\right)\cos \frac{n\pi ... ... b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(X\right)\sin \frac{n\pi X}{L} \,\mathrm{d}X$$

が得られる．これを，形式的に $X\Rightarrow x$と置き換えてもよい．すると，

$$g(x) =\frac{a_0}{2} +a_1\cos \frac{\pi x}{L}+a_2\cos \frac{2\pi x}{L}+... ..._1\sin \frac{\pi x}{L}+b_2\sin \frac{2\pi x}{L}+b_3\sin \frac{3\pi x}{L}+\cdots$$

$$=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi x}{L} +b_n\sin \frac{n\pi x}{L})$$ (5)

$$\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(x\right)\cos \frac{n\pi ... ... b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g\left(x\right)\sin \frac{n\pi x}{L} \,\mathrm{d}x$$

となる．これが，任意の周期$2L$をもつ関数のフーリエ級数である．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志