4 完全直交系

ある任意の関数$g(x)$を関数列$\phi_n(x)$で展開できる場合，それを完全系と言う．

$$g(x) =a_0\phi_0(x)+a_1\phi_1(x)+a_2\phi_2(x)+\cdots$$ (11)

$$=\sum_{n=0}^\infty a_n\phi_n(x)$$ (12)

そして，関数同志の積の積分で，

$$\int\phi_m(x)\phi_n(x)\,\mathrm{d}x= \begin{cases}0 \quad & (m\ne n)\\ 0より大きいある値 \quad & (m=n) \end{cases}$$ (13)

の場合，直行系と言う．積分の範囲は関数の定義域である．特に，

$$\int\phi_m(x)\phi_n(x)\,\mathrm{d}x= \begin{cases}0 \quad & (m\ne n)\\ 1 \quad & (m=n) \end{cases}$$ (14)

の場合，規格化直行系²と呼ぶ．これら， 完全系や直交系の話は，ベクトルを他のベクトル列の和で表すのと似ていることに注意せ よ．

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著者: 山本昌志