3 複素フーリエ級数

三角関数の計算は厄介なので，指数関数を使った方が便利なことが多い．そこで，複素数 の指数関数を使ったフーリエ級数を考える．そのためには，2回目の講義で述べたオイラー の公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ (22)

が重要な役割を果たす．これから

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ (23)

を直ちに導くことができる．これを，フーリエ級数の式(7)に代 入すると，

$$f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ a_n\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right]$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ \frac{a_n}{2}(e^{inx}+e^{-inx})-\frac{ib_n}{2}(e^{inx}-e^{-inx})\right]$$

$$=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[ \frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{inx}+\frac{1}{2}(a_n+ib_n)e^{-inx}\right]$$

となる．これは，いままでと同一の式である．左辺は実数で，右辺の値も実数となる．右辺に は虚数部が含まれるが，それはキャンセルされてゼロとなる．ここで，

$$c_0=\frac{a_0}{2} c_n=\frac{1}{2}(a_n-ib_n) c_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$$ (24)

とする⁴．すると，かなり形式的ではあるが，

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{inx}$$ (25)

が得られる．これを複素フーリエ級数という．フーリエ係数$c_n$は，実数のフーリエ級数の係 数を求める式から得ることができる．$c_0$は次のようする．

$$c_0 =\frac{a_0}{2}$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$$ (26)

$c_n$は次のようにする．

$$c_n =\frac{1}{2}(a_n-ib_n)$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \,\mathrm{d}x - \frac{i}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)[\cos nx-i\sin nx] \,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x$$ (27)

$c_{-n}$も同様である．

$$c_{-n} =\frac{1}{2}(a_n+ib_n)$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \,\mathrm{d}x + \frac{i}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)[\cos nx+i\sin nx] \,\mathrm{d}x$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{inx}\,\mathrm{d}x$$ (28)

よく見ると，係数を計算する3つの式(27)(28)(29)は，

$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$$ (29)

とまとめることができる．

そして，$c_n$と$c_{-n}$は複素共役の関係

$$c_n^\ast=c_{-n}$$ (30)

がある．$c_n$が計算できれば$c_n$は直ちに求めることができる．

区間$[-L,\,L]$で定義された関数$g(x)$の場合，ほとんど同じ議論で，

$$g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i(n\pi x)/L}$$ (31)

となる．係数は，

$$c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-i(n\pi x)/L}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$$ (32)

と導くことができる．

まとめ(複素フーリエ級数)

• 区間 $[-\pi,\,\pi]$で定義された関数$f(x)$は，複素フーリエ級数で表すことができる．

  $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{inx}$$

  
  
  係数は，つぎのようになる．

  $$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$$

  
  

• 区間$[-L,\,L]$で定義された関数$g(x)$は，複素フーリエ級数で表すことができる．

  $$g(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i(n\pi x)/L}$$

  
  
  係数は，つぎのようになる．

  $$c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-i(n\pi x)/L}\,\mathrm{d}x \qquad\qquad(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\cdots)$$

  
  

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著者: 山本昌志