6 SOR法

ここでは，より高速な逐次加速緩和法(SOR法:Successive Over-Relaxation)について説明 する．このでの説明は，文献 [2]を参考にした．この教科書 には，行列の計算テクニックが多く書かれているので便利;このような計算をする人は 参考書として持っておくと良いだろう．

ガウス・ザイデル法をもっと改善する方法がある．ガウス・ザイデル法の解の修正は， $x^{(k+1)}-x^{(k)}$であったが，これをもっと大きなステップにしようというのである．通常 の場合，ガウス・ザイデル法では近似解はいつも同じ側にあり，単調に収束する．そのた め，修正を適当にすれば，もっと早く解に近づく．修正幅を，加速緩和乗数$\omega$を用 いて， $\omega(x^{(k+1)}-x^{(k)})$とする事が考えられた．これが，SOR法である．

具体的な計算手順は，次のようにする．ここでは，ガウス・ザイデル法の式 (27)を用いて，得られた近似解を $\tilde{x}_i^{(k+1)}$としている．

$$\begin{aligned}&\tilde{x}_1^{(k+1)}=a_{11}^{-1}\left\{b_1-\left... ...mega\left(\tilde{x}_n^{(k+1)}-x_n^{(k)}\right)\\ % \end{aligned}$$

これが，SOR法である．

ここで，問題なのが加速緩和係数$\omega$の値の選び方である．明らかに，$\omega=1$の場 合，ガウス・ザイデル法となりメリットは無い．また，1以下だと，ガウス・ザイデル法 よりも収束が遅い．ただし，ガウス・ザイデル法で収束しないような問題には使える．

従って，1以上の値にしたいわけであるが，余り大きくすると，発散するのは目に見えて いる．これについては，2を越えると発散することが分かっている．最適値となると，だ いたい1.9くらいが選ばれることが多い [2]．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志