6 付録ビオ・サバールの法則

式(5)は，無限に長い電流が作る磁場である．これが分かると，微小な長さ $\mathrm{d}z$ が作る磁場の式が欲しくなる．磁場は全ての電流を積分して得られる--となると理論を考えるのに大変都合が良い．図 13のような状況を考える．図中の点 $\mathrm{P}$ の作る磁場は，式5から分かっている．ここの磁場は， $\mathrm{d}z$ が作る磁場 $\mathrm{d}B$ を足しあわせたもの--積分--になるはずである．したがって，

$\displaystyle \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{R}}{R^2}=\int_{-\infty}^\infty f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})\mathrm{d}z$

(16)

となる $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$ があるはずである．このように表すと， $\mathrm{d}z$ が作る磁場 $\mathrm{d}B$ は

$\displaystyle \mathrm{d}B=f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})\mathrm{d}z$

(17)

となる．ここまでくれば， $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$ の関数形を求めることあ重要な問題となる．ビオとサバールはここまで考えて歴史に名前を残した．だれでもここまでたどり着ければ，関数形を見つけることはできるであろう．科学史に名前を残すためには，時代の最先端にたどり着くことが如何に大事か--がわかる．

$\mathrm{d}B$ がベクトルなので， $f(\boldsymbol{I},\boldsymbol{r})$ もベクトルになる必要がある．幸いなことに，磁場は電流 $\boldsymbol{I}$ とも位置 $\boldsymbol{r}$ にも垂直である．そこで，微小磁場 $\mathrm{d}B$ は，ベクトル積 $\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}$ に関係がある--と類推できる．また，遠距離が離れると，磁場が小さくなることも理解できるであろう．問題は距離の何乗で小さくなるか?--である．ここでは，距離の2乗としてみよう．間違っていれば，1乗にしたり，3乗にしてみて，正しい関数形を探せばよい．科学史に名前を残すことを考えると，これくらいの努力をしてもよいだろう．これまでの直感から，

$\displaystyle \mathrm{d}\boldsymbol{B}=k\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z$

(18)

とかける．比例定数の

は後から調整すればよい．

この式を地道に積分を行う．計算する積分は

$\displaystyle \boldsymbol{B}=k\int_{-\infty}^\infty\frac{\boldsymbol{I}\times\boldsymbol{r}}{\vert\boldsymbol{r}\vert^3}\mathrm{d}z$

(19)

である．ベクトルの積分となっており，通常はやっかいである．しかし，幸いなことに， $\boldsymbol{I}$ と $\boldsymbol{r}$ はいつも同じ平面内にあり，

の位置が変わってもベクトル積の向きは変化しない．したがって，スカラーの積分を行った後，方向を考えればよい．

$\displaystyle B$	$\displaystyle =k\int_{-\infty}^\infty\frac{Ir\sin\theta}{r^3}\mathrm{d}z$
	$\displaystyle =k\int_{-\infty}^\infty\frac{I\sin\theta}{r^2}\mathrm{d}z$
	$\displaystyle =k\int_{-\infty}^\infty\frac{IR}{r^3}\mathrm{d}z$
	$\displaystyle =kIR\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}z}{(R^2+z^2)^{3/2}}$
	$\displaystyle =kIR\left[\frac{z}{R^2\sqrt{R^2+z^2}}\right]_{-\infty}^\infty$
	$\displaystyle =\frac{2kI}{R}$	(20)