3 エネルギー保存則

力学のエネルギー保存則はよく知られている．また，これまでの自然科学の学習の経験か らエネルギー保存則はどのような場合でも成立することは分かっていると思う．ここでは， 力学と電磁気学を含めた系でもそれが成立することを示す．

エネルギー保存則については，完全に教科書に沿って説明しよう．電磁場中での運動方程 式も教科書に沿って

$$m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$ (10)

とする．相対論的補正は加味されていないが，それを入れても同じ結果が得られる．

電磁場中に2つの電荷があったとする．それぞれの電荷量を$q_1$と$q_2$，質量を$m_1$と $m_2$とする．それぞれの運動方程式は，

$$m_1\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v_1}}{\mathrm{d}t}=q_1\boldsymbol{E}+q_1\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}}$$ (11)

$$m_2\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v_2}}{\mathrm{d}t}=q_2\boldsymbol{E}+q_2\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}}$$ (12)

となる．このての方程式を積分するときは，両辺に $\boldsymbol{v}$の内積を乗じるのが常套手段 である．そうすると，

$$m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\boldsymbol{v}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}mv^2\right]$$ (13)

となる．本当にそうなるかは， $v^2=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}$に注意して，右辺を微分してみれ ば分かる．したがって，先の運動方程式は

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}m_1v_1^2\right] =q_1\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{E}+q_1\boldsymbol{v_1}\cdot(\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}})$$

$$=q_1\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{E}$$ (14)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2}m_2v_2^2\right] =q_2\boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{E}+q_2\boldsymbol{v}_2\cdot(\boldsymbol{v_1}\times{\boldsymbol{B}})$$

$$=q_2\boldsymbol{v}_2\cdot\boldsymbol{E}$$ (15)

となる．ここでは， $\boldsymbol{v}$と $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$は直交することを利用した．この式 は，磁場 $\boldsymbol{B}$は電荷にエネルギーを与えることが出来ないと言っている．左辺の括弧 内は運動エネルギー$T$を表している．両辺を積分すると， $dT=q\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}$となり，運動エネルギーの変化は電場と変位の内積となる． 運動エネルギーに磁場は全く寄与しないのである．それならば，発電機はどうなっている のか?と言う疑問が湧くであろう．これについては，前回の授業で述べたはずである．こ こでは，運動エネルギーについてのみ述べたが，ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー) を含めても同じことが言える．

系全体の運動エネルギーの変化と電磁場の関係が見るために，先ほどの2つの運動方程式 を足しあわせよう．この操作をするときに，荷電粒子は大きさを持つものとし，その電荷 密度を$\rho$とする．したがって，電流密度は $\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}$となるので，これを 考慮すると，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}... ...right] =\int_V(\boldsymbol{j}_1+\boldsymbol{j}_2)\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}V$$ (16)

となる．当然，積分領域は考えている系全体である．

次に，マクスウェルの方程式の式(4)を使う．すると，

$$\boldsymbol{j}_1+\boldsymbol{j}_2=\nabla\times \boldsymbol{H}- \i... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$ (17)

となる．教科書には，この式の右辺は2粒子の作る場と書いてあるが，それは場の一部に すぎない．この式は，右辺のように電磁場を微分するとそれは電流密度 になると言っているだけである．その電磁場は当然，2粒子が作るものも含まれるが，ほ かの理由により存在する電磁場も含む．この式を使うと，2粒子の運動エネルギーに関す る式は

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}... ...al^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}V$$ (18)

となる．この式の左辺は運動エネルギーに，いっぽう右辺は電磁場に関するものである． だんだんと，力学的なエネルギーと電磁場のエネルギーの関係に近づいたことが実感出来 るであろう．

さて，

$$\div{\left(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}\right)} =\boldsymbo... ...\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}-\boldsymbol{E}\cdot\nabla\times \boldsymbol{H}$$ (19)

のようなベクトル恒等式がある⁴．これを用いると，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\right] =\int_V\left[\boldsymbol{H}\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}-\div{... ...al^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \cdot\boldsymbol{E}\right]\mathrm{d}V$$

$$=\int_V\left[\boldsymbol{H}\cdot\nabla\times \boldsymbol{E}- \if ... ...\right]\mathrm{d}V -\int_V\div{(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})}\mathrm{d}V$$

$$=\int_V\left[-\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \boldsymb... ...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=-\int_V\left[\mu\boldsymbol{H}\cdot \if 11 \frac{\partial \bolds... ...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=-\int_V\left[ \if 11 \frac{\partial }{\partial t} \else \frac{\p... ...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V\left[ \frac{1}{2}\boldsymb... ...m{d}V -\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$ (20)

となる．左辺は粒子の運動エネルギーの変化を表している．右辺第一項は電磁場のエネル ギーの変化である．第二項は，エネルギーの流れを表している．この辺の事情については 後で述べることにする．この式は，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}... ...t] +\int_S(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =0$$ (21)

と書き改めることができる．それぞれの項は，

$$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 \mathrm{[Jule]}$$

$$\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H} \mathrm{[Jule/m^3]}$$

$$\frac{1}{2}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D} \mathrm{Jule/m^3]}$$

$$\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} \mathrm{[Watt/m^2]}$$

を意味している．運動エネルギーについては，力学で学習したとおりである．電磁場のエ ネルギーに関しては静電場での話と同じである．最後の項のみここで追加されたことにな る．エネルギー保存則を満足させるためには，最後の項はエネルギーの流れ $\mathrm{[Watt/m^2]}$ となる必要がある． $\boldsymbol{E}$と $\boldsymbol{H}$の単位から考えるとエネ ルギー密度の流れになっている．本当にエネルギーの流れになっているかは， 実験で確かめる必要がある．いろいろな実験の結果，この式がエネルギーの流れを表して いることが確かめられているのである．このエネルギーの流れのベクトル

$$\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$$ (22)

は，発見者の名から，ポインティングベクトルと呼ばれている．

これらのエネルギーの関係は，図1のように表すこと ができる．

図 1: 電磁場と力学のエネルギーの関係

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志