7 課題

[問1]

正三角形はどのような対称性があるか

[問2]

円柱はどのような対称性があるか

[問3]

球はどのような対称性があるか

[問4]

運動方程式が $m\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}=\boldsymbol{F}$の場合，平行移動に対して対称である．実際とは異なるが，平行移動に対して対称でない運動方程式を作ってみよ．

[問5]

2つのベクトル

$$\boldsymbol{A}=(1,2,3)$$

$$\boldsymbol{B}=(3,2,1)$$

の $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$と $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$を示せ．

[問6]

前問のベクトル $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$の大きさを示せ．

[問7]

2つの位置ベクトル $\boldsymbol{A}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\boldsymbol{B}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の終点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$の間を$m:n$の比に分ける点 $\mathrm{P}$の位 置ベクトルを $\boldsymbol{X}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とすれ ば，

$$\boldsymbol{X}=\frac{n\boldsymbol{A}+m\boldsymbol{B}}{m+n}$$

であることを示せ．

[問8]

三角形 $\mathrm{ABC}$の重心を $\mathrm{G}$とし，点 $\mathrm{A, B, C, G}$の位置ベクトル をそれぞれ， $\boldsymbol{A}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\boldsymbol{B}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\boldsymbol{C}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$, $\boldsymbol{G}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$とすれば，

$$\boldsymbol{G}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$$

であることを示せ．

[問9]

3つの互いに垂直な平面鏡からなる反射鏡(コーナーキュウブ)がある．この反射鏡 に入った光線(3つの反射鏡で反射される)は，入射方向と平行 な方向にでていくことを示せ．これは，自転車の反射板の原理 である．アポロ宇宙船が月面にコーナーキューブを置いて，地 球からのレーザー光を反射させたこともあった．これにより地 球との距離を計った．(ヒント:入射光線をベクトルの 成分で表現する．そして，反射鏡はカーテシアン座標系のxy, yz, zx平面にあるとする．)

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志