7 課題

[問1]
正三角形はどのような対称性があるか
[問2]
円柱はどのような対称性があるか
[問3]
球はどのような対称性があるか
[問4]
運動方程式が $ m\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}=\boldsymbol{F}$の場合,平行移動に対して対称である.実際とは異なるが,平行移動に対して対称でない運動方程式を作ってみよ.
[問5]
2つのベクトル

$\displaystyle \boldsymbol{A}=(1,2,3)$    
$\displaystyle \boldsymbol{B}=(3,2,1)$    

$ \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ $ \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$を示せ.
[問6]
前問のベクトル $ \boldsymbol{A}$ $ \boldsymbol{B}$の大きさを示せ.
[問7]
2つの位置ベクトル $ \boldsymbol{A}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $ \boldsymbol{B}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の終点 $ \mathrm{A}$ $ \mathrm{B}$の間を$ m:n$の比に分ける点 $ \mathrm{P}$の位 置ベクトルを $ \boldsymbol{X}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とすれ ば,

$\displaystyle \boldsymbol{X}=\frac{n\boldsymbol{A}+m\boldsymbol{B}}{m+n}$    

であることを示せ.
[問8]
三角形 $ \mathrm{ABC}$の重心を $ \mathrm{G}$とし,点 $ \mathrm{A, B, C, G}$の位置ベクトル をそれぞれ, $ \boldsymbol{A}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $ \boldsymbol{B}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $ \boldsymbol{C}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$, $ \boldsymbol{G}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$とすれば,

$\displaystyle \boldsymbol{G}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$    

であることを示せ.
[問9]
3つの互いに垂直な平面鏡からなる反射鏡(コーナーキュウブ)がある.この反射鏡 に入った光線(3つの反射鏡で反射される)は,入射方向と平行 な方向にでていくことを示せ.これは,自転車の反射板の原理 である.アポロ宇宙船が月面にコーナーキューブを置いて,地 球からのレーザー光を反射させたこともあった.これにより地 球との距離を計った.(ヒント:入射光線をベクトルの 成分で表現する.そして,反射鏡はカーテシアン座標系のxy, yz, zx平面にあるとする.)



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著者: 山本昌志
Yamamoto Masashi
平成18年5月26日


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