4 課題

[問1]

2次元カーテシアン座標系の回転を表す行列の逆行列を求めよ．

[問2]

その逆行列は，元の行列の転置行列になっていることを示せ．

[問3]

2つのベクトル $\boldsymbol{A}$と $\boldsymbol{B}$の内積が，スカラー量であることを示せ．

[問4]

$\boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$， $\boldsymbol{B}=(b_x,\,b_y,\,b_z)$の時， $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$と $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$を示せ．

[問5]

$\boldsymbol{A}=(1,\,0,\,0)$， $\boldsymbol{B}=(0,\,1,\,0)$のとき，内積 $(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$と外積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$および $(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$を計算せよ．

[問6]

$\boldsymbol{A}=(1,\,0,\,0)$， $\boldsymbol{B}=(1,\,0,\,0)$のとき，内積 $(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$と外積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$および $(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$を計算せよ．

[問7]

内積の演算を利用して，ベクトル $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{i}$と $\boldsymbol{B}=5\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}$の間の角度を求めよ．

[問8]

$\boldsymbol{A}=(1,\,2,\,3)$， $\boldsymbol{B}=(4,\,5,\,6)$のとき，スカラー積 ( $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$とベクトル積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$および ( $\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$を計算せよ．さらに，スカラー積の演算結果から それぞれベクトルのなす角を計算せよ．同様にベクトル積の演算結果から それぞれのベクトルのなす角を計算せよ．

[問9]

スカラー積の演算を利用して，余弦定理を導け．ヒント：図 6を見よ．

[問10]

ベクトル積の演算を利用して，正弦定理を導け．ヒント：図 6を見よ．

図 6: 三角形をベクトルで表す。

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著者: 山本昌志