9 課題

[問1]

スカラー場 $f(x,\,y,\,z)$ があるとき，その勾配 $\nabla f$ の各成分を示せ．

[問2]

位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ のカーテシアン座標系の各成分を示せ．

[問3]

位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ の大きさの勾配を示せ．

[問4]

$\boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$ の時， $\nabla\cdot\boldsymbol{A}$ と $\nabla\times\boldsymbol{A}$ を示せ．

[問5]

以下を確認せよ．

$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \nabla (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$
$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$
$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$
$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{r}=0$
$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \nabla\times (r^n\boldsymbol{r})=0$
$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %$

[問6]

次のベクトル場は，図1～ 6のどれに対応するか分かるか?．ただし，分かりやすくするために，ベクトルの大きさはスケールされている．

	$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$
$\displaystyle %$	$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$
	$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$
	$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %$

[問7]

図1～6のうち， $\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0$ あるは $\nabla\times\boldsymbol{A}=0$ のものはどれか?．まずは，計算をしないで考えよ．その後，計算を行い確認せよ．この問題は，参考文献 [2]を参考にして作成．

**図 1:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig1.eps}$

**図 2:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig2.eps}$

**図 3:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig3.eps}$

**図 4:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig4.eps}$

**図 5:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig5.eps}$

**図 6:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig6.eps}$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成18年5月26日