1 数値計算の基礎

[問1]

テイラー展開の公式を導き出せ．そして，自分なりに理解せよ．公式を書 くだけではだめである．3〜4年生の数学の教科書に書かれているはずであ る．

[問2]

問1の結果を利用して，関数$f(x)$を$x=a$の周りでテイラー展開する式を示せ．

[問3]

問1の結果を利用して，関数$f(x)$を$x=0$の周りでテイラー展開する式を 示せ．これをマクローリン展開と言う．

[問4]

問1の結果を利用して，関数 $f(x+\Delta x)$を$x$の周りでテイラー展開 する式を示せ．

[問5]

次の3つの関数を，$x=0$の周りでテイラー展開，即ちマクローリン展開せ よ．以下の3つの関係は，どうなっているか考察せよ．

$$e^{x}=$$

$$\sin x=$$

$$\cos x=$$

[問6]

テイラー展開の結果を利用して，$\theta=31$[度]の時の $\sin \theta$と $\cos\theta$の値を小数点以下6桁の精度で求めよ．電卓を使っても良い が，三角関数の機能を使ってはならない．

[問7]

以下の連立方程式を行列とベクトルで表現せよ．

$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1N}x_N =b_1$$

$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2N}x_N =b_2$$

$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3N}x_N =b_3$$

$$\vdots\hspace{30mm}$$

$$a_{M1}x_1+a_{M2}x_2+a_{M3}x_3+\cdots+a_{MN}x_N =b_M$$

[問8]

以下の連立方程式を行列とベクトルで表現せよ．

$$x_1+2x_2 -x_3+3x_4 =1$$

$$-2x_1-3x_2 -5x_4 =2$$

$$2x_1+2x_2+3x_3+5x_4 =3$$

$$-x_1+3x_2-12x_3 =4$$

[問9]

前問の連立方程式の解と係数行列の逆行列を求めよ．解と逆行列は掃き出 し法を使うこと．

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著者: 山本昌志