A. $x\log_2 x$の関数の形

エントロピーの計算では，

$$f(x)=-x\log_2x$$ (21)

の関数がしばしば表れる．情報科学の分野では，変数$x$の部分には確率になることが多 い．そのため，$[0,1]$の間で，この関数の形を覚えておくと良いだろう．この関数をプ ロットすると，図7のようになうる．

図: $x\log_2x$の関数の形．

ここで，$f(0)=0$なのか?--という疑問が湧く． $x\rightarrow 0$の極限では，$x$はゼ ロに近づくが，$\log_2 x$は$-\infty$となる．$x=0$の部分をちゃんと調べなくてはなら ない．そこで，$x=0$の極限の値を調べてみることにする．

$$f(0)=-\lim_{x\to 0}x\log_2x$$ (22)

この手に極限の問題は，ロピタルの定理を使う．

$$f(0) =-\lim_{x\to +0}x\log_2x$$

$$=-\cfrac{1}{\log_e2}\lim_{x\to +0}\cfrac{\log_ex}{1/x}$$

$$=-\cfrac{1}{\log_e2}\lim_{x\to +0}\cfrac{1/x}{-1/x^2}$$

$$=\cfrac{1}{\log_e2}\lim_{x\to +0}x$$

$$=0$$ (23)

これで，めでたしめでたしである．この関数では，$f(0)$は不定になるであろう．$x=0$ のところではかなり特異な性質がある．ただし，$f(+0)=0$となる．

それでは，質問．$f(x)=x^x$とする．$f(0)$はどうなるか?

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著者: 山本昌志