4 $\nabla$演算子

ここでは，$\nabla$が演算子であり，ベクトルのような振る舞いを示すこと説明す る．式(11)から，

$$\left( \if 11 \frac{\partial T}{\partial x} \else \frac{\partial^... ...prime} \else \frac{\partial^{1} T}{\partial y^\prime^{1}}\fi \cos\theta \right)$$ (13)

である．これを，

$$\left( \if 11 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\partial^{... ...prime} \else \frac{\partial^{1} }{\partial y^\prime^{1}}\fi \cos\theta \right)T$$ (14)

と書き改めても良いだろう．従って， $(\partial/\partial x,\,\partial/\partial y,\,\partial/\partial z)$は演算子になっている．さらに，

$$\begin{bmatrix}\if 11 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\p... ...al y^\prime} \else \frac{\partial^{1} }{\partial y^\prime^{1}}\fi \end{bmatrix}$$ (15)

の関係より，ベクトルのように振る舞うことが分かるだろう．

$\nabla$を独立したベクトル演算子と考えると都合がよい．どのように都合が良い かは後で述べる．勾配を表す式(6)では $\nabla T$ で一つの記号で あったが，今後はベクトル演算子 $\nabla$ スカラー場 $T$ との積と考える．すな わち，

$$\nabla T =\left( \if 11 \frac{\partial }{\partial x} \else \frac{\partial^... ...c{\partial }{\partial z} \else \frac{\partial^{1} }{\partial z^{1}}\fi \right)T$$

$$=\left( \if 11 \frac{\partial T}{\partial x} \else \frac{\partial... ...{\partial T}{\partial z} \else \frac{\partial^{1} T}{\partial z^{1}}\fi \right)$$ (16)

である．ベクトル演算子 $\nabla$ は右側にある量に作用することを忘れてはなら ない．従って，積の交換法則は成り立たず， $\nabla T\neq T\nabla$ である．

また，これは微分を表すことも忘れてはならない．微分演算子 $\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ のようにである．このベクトル演算子はは当然スカラー場やベクトル量に作用する．

ベクトル演算子はベクトル量とスカラー積やベクトル積をとることができる．それについ ては，次節以降に述べる．

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著者: 山本昌志