4 静電ポテンシャル

実際に電場を計算するためのもう少し便利な式を導いておこう．静電場をあらわす一般化 されたクーロンの法則の式(10)は

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=-\nabla \left\{\frac{1}{4\pi\varep... ...c{1}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime\right\}$$ (19)

と書いてもよい．体積分の積分変数は $\boldsymbol{r}^\prime$で，勾配$\nabla$の微分の変数 は $\boldsymbol{r}$と異なるから，微分と積分を入れ替えることができる．ここで，右辺にある体 積積分を

$$\phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{V^\prime} ... ...{r}^\prime)}{\vert\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime\vert} \mathrm{d}V^\prime$$ (20)

とする．これは，全ての空間--宇宙全体--にわたっての積分である．この積分の値 $\phi$をスカラーポテンシャルと言う．このスカラーポテンシャルを導入することにより， 電場は，

$$\boldsymbol{E}=-\nabla \phi$$ (21)

と簡単に計算できる．以前，任意のベクトル場は管状と渦無しの場に分解できると述べた． この式から，静電場は渦無しのベクトル場で，管状の部分が無いことが分かる．

次にスカラーポテンシャルの性質を調べる．電荷$q$を静電場の中に置くと， $\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{E}$と いう力を受ける．その力に抗して，その電荷を$A$点から$B$点まで，移動させるのに必要 な仕事$W$は

$$W =-\int_A^B\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\ell$$

$$=-q\int_A^B\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\ell$$

$$=q\int_A^B\nabla \phi \cdot\mathrm{d}\ell$$

$$=q\left[\phi(B)-\phi(A)\right]$$ (22)

となる．以前，勾配$\nabla$の積分のところで説明したように，この積分は経路に依存 しない．積分の両端の場所のみによって，この仕事量$W$は決まるのである．仕事量$W$は， $A$点に比べたときの$B$点での電荷$q$が持つエネルギーの増加をあらわしている． $q\phi$を位置によるエネルギー，すなわちポテンシャルエネルギーと解釈することがで きる．よく考えると，この $\phi$は電圧の定義とも等しい．ポテンシャル$\phi$と言っ ているが，これは電圧と言い替えても差し支えない．

式(18)から，電場の周回積分はゼロと分かっている．従って，

$$\oint \nabla \phi \cdot\ell=0$$ (23)

となる．これは，微小区間での電位差 $\nabla \phi \cdot\ell$を足しあわせて，任意の閉 じた経路を積分するとゼロになると言っている．これは，回路で使うキルヒホッフの法則 の片割れである．式(23)は静電場で適用され，キルヒホッフの法則は 交流のように時間的に変化する回路でも成立する--と言う反論がある．通常の回路の大 きさは，その動作周波数の波長に比べて，十分小さい．そのため，電磁気学的に見ると， ほとんど静電場で近似できる．したがって，波長よりも十分小さい普通の回路では，式 (23)は良い近似となる．一方，波長が短くなり，回路と同程度の大きさに なると，もはやキルヒホッフの法則は成り立たなくなる．
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著者: 山本昌志