二次元の正規分布の分散の計算方法を示します．
二次元の正規分布の分散を計算するために，まずは，以下の関数 \begin{align} h(x,y) = \exp\left[-\left(x^2-2\rho xy + y^2\right)\right] \label{eq:func_g} \end{align} の積分を考えます．分散を計算するために必要な積分は， \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2h(x,\,y)dxdy&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}y^2h(x,\,y)dxdy= \cfrac{\pi}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \label{eq:2D_int_x2g_dx}\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xy h(x,\,y)dxdy&= \cfrac{\pi\rho}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \label{eq:2D_int_xyg_dx}\\ \end{align} です．この積分は，後で利用することになります．この関数 \(h(x,\,x)\) と先に示した \(g(x,\,x)\) との関係は， \begin{align} g(x,\,y) = \cfrac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}h\left(\cfrac{x}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}},\, \cfrac{y}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}}\right) \end{align} です．
共分散の計算は，分散の計算と似ています．計算は次のとおりです． \begin{align} \cfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu_x)(y-\mu_y)f(x,\,y)dxdy} {\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\,y)dxdy}\nonumber &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu_x)(y-\mu_y)f(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xy f(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad -\mu_x\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} y f(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad\qquad -\mu_y\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad +\mu_x\mu_y\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu_x)(y-\mu_y)g(x,\,y)dxdy -\mu_x\mu_y-\mu_x\mu_y+\mu_x\mu_y \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xy g(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad -\mu_x\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} y g(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad\qquad -\mu_y\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x g(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad +\mu_x\mu_y\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x,\,y)dxdy-\mu_x\mu_y \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xy g(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &=\cfrac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xy h\left(\cfrac{x}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}},\, \cfrac{y}{\sigma_y\sqrt{2(1-\rho^2)}}\right)dxdy \nonumber\\ &=\cfrac{\left[2\sigma_x^2(1-\rho^2)\right]\left[2\sigma_y^2(1-\rho^2)\right]}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} xy h\left(x,\, y\right)dxdy \nonumber\\ &=\cfrac{\left[2\sigma_x^2(1-\rho^2)\right]\left[2\sigma_y^2(1-\rho^2)\right]}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\cfrac{\pi\rho}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \nonumber\\ &=\rho\sigma_x\sigma_y \label{eq:2D:covariance} \end{align} 結果は，分散の結果と似ています．