一次元の正規分布の分散

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計算過程(証明)

$\begin{align} \cfrac{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx} &= \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)dx &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx -2\mu\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx +\mu^2\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{x^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx-2\mu^2-\mu^2\nonumber\\ &=(\mu^2+\sigma^2)-\mu^2 \nonumber\\ &=\sigma^2 \label{eq:int_x2f_dx} \end{align}$