計算過程(証明)
\begin{align}
\cfrac{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx}
&=
\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)dx
&= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx
-2\mu\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx
+\mu^2\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx
\nonumber\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}
\cfrac{x^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]dx-2\mu^2-\mu^2\nonumber\\
&=(\mu^2+\sigma^2)-\mu^2 \nonumber\\
&=\sigma^2 \label{eq:int_x2f_dx}
\end{align}