二次元の正規分布の分散の計算方法を示します．
二次元の正規分布の分散を計算するために，まずは，以下の関数 \begin{align} h(x,y) = \exp\left[-\left(x^2-2\rho xy + y^2\right)\right] \label{eq:func_g} \end{align} の積分を考えます．分散を計算するために必要な積分は， \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2h(x,\,y)dxdy&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}y^2h(x,\,y)dxdy= \cfrac{\pi}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \label{eq:2D_int_x2g_dx}\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xy h(x,\,y)dxdy&= \cfrac{\pi\rho}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \label{eq:2D_int_xyg_dx}\\ \end{align} です．この積分は，後で利用することになります．この関数 \(h(x,\,x)\) と先に示した \(g(x,\,x)\) との関係は， \begin{align} g(x,\,y) = \cfrac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}h\left(\cfrac{x}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}},\, \cfrac{y}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}}\right) \end{align} です．
それでは，分散の積分の計算をはじめます．分散は， \begin{align} \small \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu_x)^2f(x,\,y)dxdy &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x,\,y)dxdy -2\mu_x^2+\mu_x^2 \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2g(x-\mu_x,\,y-\mu_y)dxdy -\mu_x^2 \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+\mu_x)^2g(x,\,y)dxdy-\mu_x^2 \nonumber\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2g(x,\,y)dxdy+\mu_x^2-\mu_x^2 \nonumber\\ &=\cfrac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2h\left( \cfrac{x}{\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}},\, \cfrac{y}{\sigma_y\sqrt{2(1-\rho^2)}} \right)dxdy \nonumber\\ &=\cfrac {\left[\sigma_x\sqrt{2(1-\rho^2)}\right]^3[\sigma_y\sqrt{2(1-\rho^2)}]} {2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2h(x,\,y)dxdy \nonumber\\ &=\cfrac{2\sigma_x^2(1-\rho^2)^{3/2}}{\pi}\times \cfrac{\pi}{2(1-\rho^2)^{3/2}} \nonumber\\ &=\sigma_x^2 \label{eq:2D:variance} \normalsize \end{align} です．途中の計算では，変数変換とこれまでの結果を使います．同様に， \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu_x)^2f(x,\,y)dxdy &=\sigma_y^2 \end{align} となります．