ダブレット

x方向とy方向それぞれに収束力を持つQ-magnetを並べたものをダブレットという。 今、magnet間の距離がdとして、ビームが距離Lだけ進んだときの位相空間の式は次のようになる。

$$\begin{bmatrix}x \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & L \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & ... ... 0 \\ \frac{1}{-f_1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0 \\ x'_0 \end{bmatrix}$$ (3)

$$\begin{bmatrix}y \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & L \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & ... ...& 0 \\ \frac{1}{f_1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_0 \\ y'_0 \end{bmatrix}$$ (4)

さて、この式より収束の条件を求める。 平行ビームを入射しx,y方向が同時ににビーム系が0の点が存在すればよい。 つまり、 $x'=0, y'=0$とし、$x=0, y=0$となればよい。 では実際に $x'=0, y'=0$として式(3), (4)を計算してみると、

$$\begin{bmatrix}x \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\displaystyle \frac{d\,\left( -L + f_2 \right) +... ...playstyle 1 - \frac{d}{f_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (5)

$$\begin{bmatrix}y \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\displaystyle \frac{d\,\left( -L - f_2 \right) +... ...playstyle 1 + \frac{d}{f_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (6)

となる。 これより、$x=0$となる距離$L$を求めると、

$$L = \frac{- d\,f_2 - f_2\,f_1}{-d + f_2 - f_1}$$ (7)

となり、$y=0$となる$L$は

$$L = \frac{ d\,f_2 - f_2\,f_1}{-d + f_1 - f_1}$$ (8)

である。つまりxy方向の収束の条件は、

$$\frac{- d\,f_2 - f_2\,f_1}{-d + f_2 - f_1} = \frac{ d\,f_2 - f_2\,f_1}{-d + f_1 - f_1}$$ (9)

であり、これを整理すると、

$$d= \sqrt{f_1^2 - f_2 f_1}$$ (10)

となる。