%=====================================================================
% ���Ĺ��� 2E ���󹩳س��� �ƥ�����
%�����ơ��ޡ�������
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%        ��
%        ��
%        ��
%        ��
%������ ����
%
% last updated 2005.6.23
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,float}
\usepackage{html, listings, jlisting}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
\newcommand{\command}[1]{��\texttt{#1}��}
\newcommand{\cl}[1]{\texttt{#1}}
\newcommand{\tw}[1]{\texttt{#1}}
%
\newcounter{toi_num}
\newcommand{\toi}{\textbf{\texttt [��\arabic{toi_num}]}
   \addtocounter{toi_num}{1}}
\newcommand{\qbox}[1]{
    {\fboxsep=2pt\fboxrule=0.4pt\fbox{\hspace{3mm}{#1}\hspace{3mm}}}
}
%
\renewcommand{\lstlistingname}{�ꥹ��}
\lstset{language=C,%
        basicstyle=\footnotesize,%
        commentstyle=\textit,%
        classoffset=1,%
        keywordstyle=\bfseries,%
	frame=tRBl,framesep=5pt,%
	showstringspaces=false,%
        numbers=left,stepnumber=1,numberstyle=\footnotesize%
	}%
%
\begin{htmlonly}
\usepackage{verbatimfiles}
 \providecommand{\lstinputlisting}[2][]{\verbatimlisting{#2}}
\end{htmlonly}
%
\begin{document}
\title{������(����2)}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω����ˡ�͡����Ĺ��ȹ�������ع����ŵ����󹩳ز�}}
\date{2005ǯ10��18��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�����γؽ�����}
%=====================================================================
�����ϡ��ʲ��γؽ���Ԥ���
\begin{itemize}
 \item �����å�������
 \item �ޡ����󥽡���
\end{itemize}
%
%=====================================================================
\section{�����å�������}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{���}
%---------------------------------------------------------------------
�����϶��ʽ��Ȥä��������롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�ץ������ƥ��˥å�}
%---------------------------------------------------------------------
���ʽ�˽񤫤�Ƥ���ץ������Υƥ��˥å����������롥\tw{main}�ؿ����鸫�Ƥ���
�ơ������ˤ狼��ˤ�����Τ��������롥
%-------------------
\subsubsection{���}
%-------------------
����Ȥϡ��Х�Х�ʿ���Τ��Ȥ�������Ȥ��ˡ�������������㤯����˸����褦
�ʤ�Τ�������Ȥ�����0�ʾ�̵����ޤǤ����Ƥμ��������Ѥ�������������ͤ����
�뤬���ºݾ�Ϻ���μ��������ᡢ�����ϰϤǹͤ��뤳�Ȥ�¿����0��\tw{RAND\_MAX}��
�ϰϤ������ȯ�������뤳�Ȥ��Ǥ��롥\tw{RAND\_MAX}��\tw{stdlib.h}�˽񤫤�Ƥ��ꡤ
�䤬���Ѥ��Ƥ��륷���ƥ��C����ξ�硢
	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
/* The largest number rand will return (same as INT_MAX).  */
#define	RAND_MAX	2147483647
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
�ȤʤäƤ��롥�������äơ�0��2147483647���ϰ�\footnote{0��2$^31$-1���ϰϤǤ��롣}��
�����ȯ�������뤳�Ȥ��Ǥ���ΤǤ��롣

C����Υץ������Ǥϡ�\tw{rand()}�ؿ���Ȥäơ������ȯ�������롣���ʽ�Υץ���
���Ǥϡ�\tw{rand()}�ؿ����ƤӽФ�����٤ˡ����줬������֤�������\tw{sort[i]}��
��Ǽ����롣

����ԥ塼���������Τ˸���줿�Ȥ���(�ץ������ΤȤ���)�˷׻���Ԥ����Ȥϡ�����
��褯�ΤäƤ���Ϥ��Ǥ��롣���Τ��ᡢ����ԥ塼�����Ϥ���㤯����ʽ���ǿ�����
��Ǥ��������ȯ�������뤳�Ȥ϶��Ǥ��롣��ۤɤ�\tw{rand()}�ؿ��ϡ���������
\footnote{���Τˤ�seed(��)�ȸ����餷����}��Ȥäơ��׻��ˤ���������Ƥ��롣
Ʊ������ͤ�Ȥäơ�\tw{rand()}�ؿ���ƤӽФ��ȡ�Ʊ������ȯ�����뤳�Τˤʤ롣
����Ǥϡ�����Ȥϸ����񤤤Τǡ�����ͤ�����ѹ�����Τ��褤��

����ͤ��ͤ����ۤʤ����������ɬ�פ����뤬�����ߤ��������֤�\tw{time()}��
�����Ѥ���Τ�����Ū�Ǥ��롣����ͤ�����ϡ�\tw{srand()}�ؿ��˰���(���̵������) 
���Ϥ����Ȥˤ���ǽ�Ǥ��롣���Τ褦�ˤ���С����ۤʤ����ͤ���뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��������1�ð���Ǥ���С�\tw{time}��Ʊ���ͤȤʤꡢƱ������ͤȤʤꡢƱ������Ȥ�
�뤳�Ȥ����դ�ɬ�פǤ��롣\tw{(unsigned int)}�ϡ����㥹�ȤȸƤФ�붯�����Ѵ��ǡ�
����³���ͤη����Ѵ����Ƥ��롣\tw{time()}�ؿ��ΰ����������ǡ�����郎�ݥ��󥿡�
�ǳ�Ǽ����롣�������Ǽ����ɬ�פ��ʤ��Ȥ��ˤϡ�\tw{NULL}�ȶ��ݥ��󥿡������
���롣

�ʾ夫�顢�����ȯ�������뤿��ˤϡ�\tw{rand()}��\tw{srand()}��\tw{time()}�ؿ���
ɬ�פǤ��뤳�Ȥ�ʬ���ä��������δؿ���Ȥ�����ˤϡ��ؿ���������񤫤�Ƥ���إ�
�����ե����뤬ɬ�פǤ��롣\tw{rand()}��\tw{srand()}�ˤ�\tw{stdlib.h}����
\tw{time()}�ˤ�\tw{time.h}��ɬ�פȤʤ롣
%
%--------------------
\subsubsection{����¾}
%--------------------
\begin{itemize}
 \item �ؿ�\tw{QuickSort}�Υץ��ȥ�����������񤫤�Ƥ��ʤ���
       \begin{quote}
	�ؿ����Ȥ������ˡ��ؿ��������񤯤ȥץ��ȥ����������񤫤ʤ��Ƥ���
	��������ѥ��顼�ϥ����������ɤΤϤ��ᤫ�顤��������Ѵ�����Τǡ��ǽ��
	�ؿ������Ƥ�ʬ����С��ؿ��λȤ���������餫����ʬ���롥�ؿ���Ȥ��Ȥ��ˡ�
	�����Υ����å�����ǽ�Ǥ��롥�������ؿ�������������ˡ��ؿ����Ȥ���ȡ�
	�ץ��ȥ�����������ʤ��Ȱ����Υ����å����Ǥ��ʤ���
       \end{quote}
 \item \tw{return EXIT\_SUCCESS;}
       \begin{quote}
	����\tw{EXIT\_SUCCESS}��\tw{stdlib.h}���������Ƥ���ޥ����ǡ���Υѥ�
	����Ǥ�
	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	#define	EXIT_SUCCESS	0	/* Successful exit status.  */
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
	�ȤʤäƤ��롥�������äơ�����ϡ�
	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	return 0;
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
	
	�Ƚ񤯤Τ�Ʊ���Ǥ��롥
       \end{quote}
 \item \tw{while}ʸ�˳��\tw{\{\}}���ʤ���
       \begin{quote}
       �ץ��������ˡ�
       	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	while(lower<=upper&&data[lower]<=div)
	    lower++;
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
       �Ƚ񤫤�Ƥ��롥����ϡ�
       	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	while(lower<=upper&&data[lower]<=div){
	    lower++;
	}
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
	�Ƚ񤯤Τ�Ʊ��Ǥ��롥C����Ǥϡ�2�İʾ��ʸ��ҤȤޤȤ�ˤ��뤳�Ȥ��Ǥ롥
	����ϡ������ɥ֥��å��ޤ���ʣʸ�ȸƤФ�빽¤�Ǥ��롥�����ɥ֥��å�����ˤϡ�
	�ޤȤ᤿��ʸ��\tw{\{\}}�ǰϤߤޤ���\tw{\{������ʣ����ʸ\}}�ǰϤ��������
	�֥��å��ϡ��ҤȤĤ�����Ū�ʤޤȤޤ�Ǥ��ꡤñ���ʸ���񤱤�Ȥ����ʤ��
	���Ǥ�Ȥ����Ȥ��Ǥ��롥
       \end{quote}
\end{itemize}
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�����Ȥ��ͻ�}
%---------------------------------------------------------------------
%
�ºݤ˥����Ȥ�����̤򼨤���
\begin{quote}
 \begin{small}
  \begin{verbatim}
�����Ƚ���:
879 269 649 711 435 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531

�����ȳ���:
879 269 649 711 435 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 531 469 832 983
832 269 649 711 435 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 531 469 879 983

832 269 649 711 435 311 701 605 303 469 857 419 298 278 817 713 531 879 879 983
832 269 649 711 435 311 701 605 303 469 531 419 298 278 817 713 857 879 879 983
713 269 649 711 435 311 701 605 303 469 531 419 298 278 817 832 857 879 879 983

278 269 649 711 435 311 701 605 303 469 531 419 298 713 817 832 857 879 879 983

269 278 649 711 435 311 701 605 303 469 531 419 298 713 817 832 857 879 879 983

269 278 649 298 435 311 701 605 303 469 531 419 711 713 817 832 857 879 879 983
269 278 649 298 435 311 419 605 303 469 531 701 711 713 817 832 857 879 879 983
269 278 531 298 435 311 419 605 303 469 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 531 298 435 311 419 469 303 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983
269 278 303 298 435 311 419 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 298 303 435 311 419 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 298 303 419 311 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983


�����Ƚ�λ:
269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983
  \end{verbatim}
 \end{small}
\end{quote}

%
%=====================================================================
\section{�ޡ���������}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{���}
%---------------------------------------------------------------------
�����϶��ʽ��Ȥä��������롥
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�ץ������ƥ��˥å�}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{itemize}
 \item \tw{x[k++]=buffer[i++];}
       \begin{quote}
	����ϡ����ͷ��Υ��󥯥���ȱ黻�Ҥ��Ѥ��Ƥ��ꡤ
       	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	x[k]=buffer[i];
	i++;
	k++;
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
	�Ȥ��ʤ��Ǥ��롥ȿ�Фˡ����ͷ��Υ��󥯥���ȱ黻�Ҥ��Ѥ���ȡ�
	\tw{x[++k]=buffer[++i];}�ϡ�
	       	\begin{quote}
	 \setlength{\baselineskip}{12pt}
	 \begin{verbatim}
	i++;
	k++;
	x[k]=buffer[i];
	 \end{verbatim}
	\end{quote}\vspace{-3mm}
	��Ʊ���Ư���Ȥʤ롥
       \end{quote}
 \item ����������̾���Ϥ��Ȥ����ˡ�\tw{x+m}�ȤʤäƤ���
       \begin{quote}
	����̾�ϡ��������Ƭ�򼨤��ݥ��󥿡��Ǥ��롥�������äơ�����̾\tw{x}����
	��\tw{m}��û�����Ȥ������Ȥϡ��ݥ��󥿡���\tw{m}������ư���������Ȥˤ�
	�롥�������äơ�\tw{x+m}��\tw{x[m]}��ɽ���ݥ��󥿡��ȤʤäƤ��롥
       \end{quote}
\end{itemize}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�����Ȥ��ͻ�}
%---------------------------------------------------------------------
�ºݤ˥����Ȥ�����̤򼨤���
\begin{quote}
 \begin{small}
  \begin{verbatim}
�����Ƚ���:
879 269 649 711 435 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531

�����ȳ���:
269 879 649 711 435 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 879 649 435 711 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 879 435 649 711 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 435 649 711 879 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 435 649 711 879 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 435 649 711 879 311 701 605 303 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 435 649 711 879 311 701 303 605 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 435 649 711 879 303 311 605 701 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 857 419 298 278 817 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 419 857 298 278 817 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 419 857 298 278 817 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 419 857 278 298 817 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 817 857 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 817 857 713 983 469 832 531
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 817 857 713 983 469 531 832
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 817 857 713 983 469 531 832
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 817 857 469 531 713 832 983
269 303 311 435 605 649 701 711 879 879 278 298 419 469 531 713 817 832 857 983
269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983

�����Ƚ�λ:
269 278 298 303 311 419 435 469 531 605 649 701 711 713 817 832 857 879 879 983
  \end{verbatim}
 \end{small}
\end{quote}
%
%=====================================================================
\section{����}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��������}
%---------------------------------------------------------------------
%---------------------
\subsubsection{������}
%---------------------
�ʲ��ο���Υ����Ȥ˴ؤ�������Ǥ��롥����򤽤줾��˥����Ȥ��¤��ؤ���Ԥä���
�硤�����ͻҤ򼨤������ιֵ��Ρ��ȤΡ֥����Ȥ��ͻҡפǼ������褦�˵��Ҥ�����ɤ���
���������ͻҤϼ�񤭤ǽ񤯤��ȡ�
\begin{quote}
 \begin{small}
  \begin{verbatim}
752 778 608 239 956 244 535 840 629 353 784 199 945 847 637 413 686 172 462 223
  \end{verbatim}
 \end{small}
\end{quote}
\setcounter{toi_num}{1}
\begin{quote}
 \begin{itemize}
  \item[\toi]�Х֥륽���ȤǾ���(��������)�ξ�硥���ξ��ϡ���Ƭ����ü�ޤ�1���
	     ��������ο�����¤Ӥ�񤯤����Ǥ褤��
  \item[\toi]�����å������ȤǾ���ξ��
  \item[\toi]�ޡ��������ȤǾ���ξ��
 \end{itemize}
\end{quote}
%-----------------------------
\subsubsection{�ץ��������ѹ�}
%-----------------------------
���ʽ�ΥХ֥륽���ȤΥץ������(List 1-1)�������å������ȤΥץ������(List 1-3)��
�ޡ��������ȤΥץ������(List 1-5)�ϡ�������ξ��⾺����¤��ؤ���褦�ˤʤä�
���롥�߽�(�礭����)���¤��ؤ�����褦�ʥץ��������ѹ����������ʲ����䤤������
�补
\begin{quote}
 \begin{itemize}
  \item[\toi]�Х֥륽���ȤΥץ������(List 1-1)�Τɤ���ɤΤ褦���ѹ����뤫?
  \item[\toi]�����å������ȤΥץ������(List 1-3)�Τɤ���ɤΤ褦���ѹ����뤫?
  \item[\toi]�ޡ��������ȤΥץ������(List 1-5)�Τɤ���ɤΤ褦���ѹ����뤫?
 \end{itemize}
\end{quote}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��ݡ����������}
%---------------------------------------------------------------------
�����ˡ�ϡ������̤�Ȥ��롣
% 
\begin{quote}
 \begin{tabular}{ll}
  ���� & 10��24��(��) AM 8:50 \\
  �ѻ� & A4 \\
  ��о�� & ���ܸ��漼�������Υݥ��� \\
  ɽ�� & ɽ���1��Ĥ��ơ��ʲ��ι��ܤ�ʬ����䤹�����Ҥ��뤳�ȡ�\\
       & \qquad ���Ȳ���̾�־��󹩳ء�\\
       & \qquad ����̾�ֲ��ꡡ������(����2)��\\
       & \qquad 2E\quad �����ֹ�\quad ��̾\\
       & \qquad �����\\
  ���� & 2�ڡ����ʹߤ��䤤���Ф���������ʬ����䤹�����Ҥ��뤳�ȡ�
 \end{tabular}
\end{quote}
%
%
\newpage
%=====================================================================
\section{��Ͽ}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�����å������Ȥη׻���}
%---------------------------------------------------------------------
\tw{QuickSort()}�ؿ����ǽ�˸ƤӽФ��줿�Ȥ������
%
\begin{quote}
 \setlength{\baselineskip}{12pt}
 \begin{verbatim}
        lower<=upper&&data[lower]<=div
        lower<=upper&&data[upper]>div
 \end{verbatim}
\end{quote}
%
�μ¹Բ��
�ϡ�$N+1$��Ǥ��롣�����ơ��Ƶ�
�ƤӽФ��ˤ�ꡢ$\alpha$ �Ĥ�$\beta$�Ĥξ���\tw{QuickSort()}���ƤӽФ���뤳�Ȥˤ�
�롣$N$�Ĥλ��Υȡ��������Ӳ����$a_N$�Ȥ��ơ������δط��ϡ�
\begin{align}
 a_N=N+1+a_\alpha+a_\beta
\end{align}
�Ȥʤ롣�������$\alpha$��$\beta$�ϡ�$1$��$N-1$���ͤ��ꤦ�롣�����ơ�
\tw{sort[]}�˳�Ǽ����Ƥ����ͤ�������Ǥ���С�Ʊ����Ψ��$1$��$N-1$���ͤ�Ȥ롣��
��ˡ�$\alpha$��$\beta$���¤�$N$�ˤʤ뤳�Ȥϥ����å������ȤΥ��르�ꥺ�फ�鼫��
�Ǥ��롣�������äơ�$a_N$�δ����ͤϡ�
\begin{align}
 a_N&=N+1+\frac{1}{N-1}\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{N-1}
 +a_{N-1}+a_{N-2}+a_{N-3}+\cdots+a_1\right)\nonumber
 \\
 &=N+1+\frac{2}{N-1}\sum_{k=1}^{N-1}a_k
 \label{eq:qsort_1}
\end{align}
�Ȥʤ롣�������������顢$a_N$����뤳�Ȥˤʤ뤬���׻��Ϸ빽���ѤǤ��롣�ޤ���
��(\ref{eq:qsort_1})��
\begin{align}
 (N-1)a_N=(N+1)(N-1)+2\sum_{k=1}^{N-1}a_k
 \label{eq:qsort_2}
\end{align}
���ѷ����Ƥ������Ĥ��ˡ����μ���$N$��$N-1$�ˤ������μ�
\begin{align}
 (N-2)a_{N-1}=N(N-2)+2\sum_{k=1}^{N-2}a_k
 \label{eq:qsort_3}
\end{align}
�����Ѥ��롣��(\ref{eq:qsort_2})���鼰(\ref{eq:qsort_3})���ա��򺹤�������������
��ȡ�
\begin{align}
 (N-1)a_N-(N-2)a_{N-1}&=(N+1)(N-1)-N(N-2)+2a_{N-1}
\end{align}
�Ȥʤ롣����ˡ�������ʤ���
\begin{align}
 (N-1)a_N-Na_{N-1}&=2N-1
\end{align}
�Ȥʤ롣ξ�դ�$(N-1)N$�ǳ��ȡ�
\begin{align}
 \frac{a_N}{N}-\frac{a_{N-1}}{N-1}
 &=\frac{2N-1}{(N-1)N}\nonumber \\
 &=\frac{1}{N}+\frac{1}{N-1}
\end{align}
�Ȥʤ롣�����ǡ�$a_N/N$��$b_N$���֤��ȡ�
\begin{align}
 b_N-b_{N-1}=\frac{1}{N}+\frac{1}{N-1}
\end{align}
�Ȥʤꡢ����������Ѥ����ưפ˷׻��Ǥ��롣���ʤ����
\begin{align}
 b_N=b_2+\sum_{k=3}^N\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1}\right)
\end{align}
�Ǥ��롣$a_2=3$��ꡢ$b_2=3/2$�Ȥʤ�Τǡ�
\begin{align}
 b_N&=\frac{3}{2}+\sum_{k=3}^N\frac{1}{k}+\sum_{k=3}^N\frac{1}{k-1}
 \nonumber \\
 &=\frac{3}{2}+\left(\sum_{k=1}^N\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}\right)+
 \left(\sum_{k=1}^N\frac{1}{k}-1-\frac{1}{N}\right)
 \nonumber \\
 &=-\frac{3}{2}-\frac{1}{N}+2\sum_{k=1}^N\frac{1}{k}
\end{align}
�Ȥʤ롣�����ǡ�$N$���礭����硢$\sum_{k=1}^N\frac{1}{k}$��$\log_eN+\gamma$�˶�
�Ť����Ȥ��Τ��Ƥ���\footnote{�̾�ϡ�
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots-\log_eN=\gamma$�Ȥ����ط����򲱤��Ƥ���}��
$\gamma$�ϥ����顼���ȸ���������ǡ������ͤ�0.577$\cdots$�Ǥ��롣�������äơ�
$N$���礭����硢
\begin{align}
 b_N\simeq-\frac{3}{2}-\frac{1}{N}+2(\log_eN+\gamma)
\end{align}
�Ȥʤ롣���դ�$\log_eN$��¾�ι����٤��礭���ͤ���\footnote{�̾諒���Ȥ��Ȥ�
���Τ��礭�ʥ���ץ뤬����Ȥ��Ǥ��롣$N=10000$��ͤ���С�$\log_2N$�ιब����
Ū�Ǥ��뤳�ȤϤ�����ʬ����}���������äơ�
\begin{align}
 b_N\simeq 2\log_eN
\end{align}
�Ȥʤ롣$b_N$��������顢
\begin{align}
 a_N \simeq 2N\log_eN
\end{align}
�Ȥʤ롣

$a_N$��\tw{sort[]}�����Ǥ���Ӳ����ɽ�����������äơ�$N$���礭��������Ӳ���ϡ�
$2N\log_eN$�Ȥʤ롣
%=====================================================================
%  ����ʸ��
%=====================================================================
\bibliographystyle{jplain}
\bibliography{reference}
%=====================================================================
\end{document}
