%===================================================================== % 秋田高専 専攻科1年 電気磁気学特論講義ノート %　　テーマ 電磁気学と電荷・電流 % 本テキストの内容 % ・はじめに % ・ % ・ % % last updated 2005.4.15 % created by Masashi Yamamoto % e-mail yamamoto@akita-nct.jp %===================================================================== \documentclass[10pt,a4paper]{jarticle} \usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem,float} \oddsidemargin 0mm %左の余白 25.4mm-0mm　奇数ページ \evensidemargin 0mm %左の余白 25.4mm-0mm　偶数ページ \textwidth 160mm \newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\grad}[1]{\nabla #1} \renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 } \newcommand{\rot}[1]{\nabla\times #1} \newcommand{\pdiff}[3]{ \if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3} \else \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi } % \begin{document} \title{電磁気学とはどんな学問か} \author{山本昌志\thanks{国立秋田工業高等専門学校　電気工学科}} \date{2005年4月15日} \maketitle % % %===================================================================== \section{本日の授業内容} %===================================================================== 本日は、電磁気学の序論ということで、基本的なお話をします。本日は、概論です。ノー トを取る必要もありませんので気楽に聞いてください。講義は教科書に沿って進めますが、 その説明のためにプリントを配ります。 本日の講義では、電磁気的な力について説明する。以下のことを理解して欲しい。 \begin{itemize} \item 電磁気的な力は非常に強い。そして、その力により、物質が形作られている。 \item クーロンの法則 \item 力の伝わり方 \end{itemize} % %===================================================================== \section{電磁気的な現象} %===================================================================== %--------------------------------------------------------------------- \subsection{自然界の力} %--------------------------------------------------------------------- まずは、非常に基本的なことから始める。自然界には、次に示す4つの力がある。という か、この4つの力しか発見されていない。たった、4つである。 % \begin{description} \item[\textbf{弱い力}]{原子核のベータ崩壊などの原因となる(粒子の種類を変えるこ との出来る)力。日常は経験することのない力だが、ミクロの世 界では重要な役割を果たす。作用を及ぼす距離は、大体 $10^{-18}$[m]である。} \item[\textbf{強い力}]{クォークを結び付け、陽子(p)や中性子(n)を作り、またそれら から原子核を作る力。作用を及ぼす距離は、大体 $10^{-15}$[m]である。} \item[\textbf{重力}]{質量がある物質にの間に働く引力。作用を及ぼす距離は無限大 と考えられている。} \item[\textbf{電磁力}]{電気を帯びた粒子にはたらく力。電子と原子核を結び付け原 子を作る力、原子同士を結び付け分子を作る力は、電磁気力であ る。作用を及ぼす距離は無限大と考えられている。} \end{description} % この4つが全てであるので、その1/4を電磁気的な力が占めているのである。弱い力と強い 力は、非常に短い距離しか作用を及ぼさないので、日常生活では全く無視できる。一方、 重力と電磁力は、非常に遠方まえで作用を及ぼし、日常感じることができる。後で述べる が、電磁力は重力に比べてとてつもなく大きい。そのため、世の中を形作るのは電磁力が 主な作用を及ぼしていることになる。その電磁力、あるいはそれに関係することを諸君は 学習することになる。 % %--------------------------------------------------------------------- \subsection{電磁気力が関係する現象} %--------------------------------------------------------------------- 肩の力を抜いて、みんなで、以下について考察しよう。これを考えることで、日常、経験 することの大部分は電磁気力が関係することを理解して欲しい。 % \begin{itemize} \item{日常生活で感じる力は、どんなものがあるか?} \item{それが、先に示した力とどのようにかかわっているか?} \item{力以外で、電磁気的な事柄がかかわることはどんなものがあるか?} \item{日常生活で、電磁気的な事柄がかかわらないことはどんなことがあるか?} \item{そもそも、力とは何だろうか?。} \end{itemize} % %===================================================================== \section{電磁気学の基本法則} %===================================================================== 古典物理学の2つの柱は、ニュートン力学と電磁気学である。いずれも微分方程式が書か れることが多く、ニュートン力学では % \begin{align} \vm{F}&=\frac{d\vm{p}}{dt}\\ &\quad\text{ここで、$\vm{p}=m\frac{d\vm{r}}{dt}$で$m$が一定とすると}\nonumber \\ &=m\frac{d^2\vm{r}}{dt^2} \end{align} % となる。これが Newtonの運動の第2法則(Newton's Second Law of Motion)である。通常 はこれを積分して、運動を求めることになる\footnote{運動の法則の残りの2つは、慣性 の法則と作用反作用の法則である。}。 これに対して、電磁気学の法則は、 \begin{equation} \begin{aligned} &\div{\vm{D}}=\rho &\qquad &\div{\vm{B}}=0 \\ &\rot{\vm{H}} - \pdiff{1}{\vm{D}}{t}=\vm{j} &\qquad &\rot{\vm{E}}+\pdiff{1}{\vm{B}}{t}=0 \end{aligned} \label{eq:Maxwells_eq} \end{equation} と書かれる4組の連立の微分方程式である。これをマクスウェルの方程式(Maxwell equations)という。ここで、 % \begin{table}[H] \begin{center} \begin{tabular}{clll} \hline 記号 & 物理量 & 単位 & スカラー/ベクトル\\ \hline \hline $\vm{D}$ & 電束密度 & [$\mathrm{C/m^2}$] & ベクトル　\\ $\vm{B}$ & 磁束密度 & [T]あるは[$\mathrm{Wb/m^2}$] & ベクトル \\ $\vm{H}$ & 磁場(の強さ) & [$\mathrm{A/m}$] & ベクトル \\ $\vm{E}$ & 電場(の強さ) & [$\mathrm{V/m}$] & ベクトル \\ $\rho$ & 電荷密度 & [$\mathrm{C/m^3}$] & スカラー \\ $\vm{j}$ & 電流密度 & [$\mathrm{A}/\mathrm{m^2}$] & ベクトル \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} % である。こんなものはまだ理解する必要はない。この授業の最後で理解すべきものとなる。 ただ、基本方程式というものがあることは分かって欲しい。 力学では、基本方程式が与えられてから、それを問題に適用することを学習することが多 い。それに対して、ここでの電磁気学では、最後の方に基本方程式を導くことになる。力 学の基本方程式は、直感的にある程度理解できるので、それが可能である。電磁気学の式 (\ref{eq:Maxwells_eq}) はそんなに単純ではなく、少し修行してから理解するしかない のである。 電気回路のもっとも基本的な法則である、オームの法則やキルヒホッフの法則もこのマク スウェルの方程式から、ある近似をして導かれることを忘れてはならない。電気回路とい えども電磁気的な現象なので、マクスウェルの方程式から計算できるのである。ただ、計 算が大変なので、近似であるオームの法則を使う。通常であれば、それで十分な精度を得 ることができる。おもしろいことに、回路の動作が高速になるとオームの法則ではだめな 場合が生じている。高速のCPUの設計にオームの法則ではなく、マクスウェルの方程式が 使われることがある。 % %===================================================================== \section{クーロンの法則} %===================================================================== %--------------------------------------------------------------------- \subsection{クーロン力とその大きさ} %--------------------------------------------------------------------- 電磁気学の最初の学習はクーロンの法則から始めることが多い。教科書に沿って、ここで もそれから始める。図\ref{fig:Qoulomb_low_without_vector}に示すように2つの電荷の 間に働く力の関係を表すのが発見者の名前を付けてクーロンの法則という。教科書では、 それを % \begin{align} F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{R^2} \label{eq:Qoulomb_low_without_vector} \end{align} % と書いている\footnote{この式が万有引力の法則($F=GMm/r^2$)とよく似ていることに注 目せよ。}。ここで、$F$は力(単位は[N])、$Q$と$q$力が作用する2つの電荷量(単位は [C])、$R$は電荷間の距離(単位は[m])である。そして、$4\pi\varepsilon_0$は比例定数 で、$4\pi$がつくのは後で式を簡単にするためである。$\varepsilon_0$は、真空中の誘 電率で $8.85418782$[F/m]である。力の方向は、電荷の積が負の場合引力、正の場合斥力 となる。 この力と重力の大きさを比べてみよう。2つの電子間に働く力の比は % \begin{align} \frac{F_e}{F_g} &=\frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}} {G\frac{m_e^2}{R^2}}\nonumber \\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0G}\left(\frac{e}{m_e}\right)^2 \nonumber \\ &=\frac{1}{4\times 3.1415 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.67 \times 10^{-11}} \left(\frac{1.60 \times 10^{-19}}{9.11 \times 10^{-31}}\right)^2 \nonumber \\ &=4.1 \times 10^{42} \end{align} % となり、電気的なクーロン力の方が$10^{42}$倍も大きいのである。このことについて、 ファインマンは、次のように述べている~\cite{ファインマン物理3電磁気学}。 % \begin{quotation} 全ての物質は正の陽子と負の電子電子との混合体で、この強い力で引き合い反発しあっ ている。しかしバランスは非常に完全に保たれているので、あなたが他の人の近くに立っ ても力を感じることは全くない。ほんのちょっとでもバランスの狂いがあれば、すぐに 分かるはずである。人体の中の電子が陽子より\textbf{1パーセント}多いとすると、あ なたがある人から腕の長さのところに立つとき、信じられない位強い力で反発するはず である。どの位の強さだろう。エンパイア・ステート・ビルを持ち上げるくらいだろう か。エベレストを持ち上げるくらいだろうか。それどころではない。反発力は地球全体 の重さを持ち上げるくらい強い。 \end{quotation} % この非常に強い力により、物質全体は中性になる。そうでないと、物質はバラバラになってし まう。また、物質を電子や原子のオーダーで見ると、電荷の偏りがあり、そこではこのクー ロン力が働く。この強い力により、原子が集合して、固い物質が形作られるのである。 正電荷をもつ陽子と電荷の無い中性子が、クーロン力に抗して集合するのは、もう一つ別 の力が働くからである。この辺の話は、興味のある人は自分で勉強してください。 % % \begin{figure}[hbpt] \begin{center} \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Coulomb_low.eps} \caption{クーロン力} \label{fig:Qoulomb_low_without_vector} \end{center} \end{figure} % %--------------------------------------------------------------------- \subsection{ベクトルを使った表現} %--------------------------------------------------------------------- 式(\ref{eq:Qoulomb_low_without_vector})はスカラー量で記述しているが、ベクトルを 使う方が適切である\footnote{砂川大先生の教科書に文句を言っているわけではない。 教科書は理解しやすくするためにあえてベクトルを使っていないだけである。}。諸君は、 ベクトル解析の学習がすんでいるので、それを用いるとクーロンの法則は % \begin{align} \vm{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{|\vm{r}_2-\vm{r}_1|^2} \frac{(\vm{r}_2-\vm{r}_1)}{|\vm{r}_2-\vm{r}_1|} \label{eq:Qoulomb_low_with_vector} \end{align} % と書くべきであろう。ここで、$\vm{F}_{12}$は、電荷量$Q_1$が電荷量$Q_2$に及ぼす力で ある。位置ベクトルのと力の関係は、図\ref{fig:Qoulomb_low_with_vector}のとおりで ある。この式が言っていることは、電荷の積が負の場合引力、正の場合斥力となる。力の 大きさは距離の2乗に反比例し、電荷の積に比例する。 クーロンの法則について、次のことについて考察してみよう。 % \begin{itemize} \item{世の中に電荷が2つしかないとする。この場合、それぞれの電荷の大き さ調べる手立てはあるか?。} \item{それでは、電荷が3つある場合はどうか?} \item{電子の電荷は$e=-1.602892\times 10^{-19}$[C]である。電子の電荷が なぜ負になっているか、考えてみよう?} \item{クーロン力は、距離の-2乗に比例する。なぜ、-2という丁度の数字な のか?。これは必然か?。-2.0001では不都合なのか?} \item{クーロン力は、各々の電荷の積の1乗に比例する。なぜ、1という丁度 の数字なのか?。これは必然か?。1.00001では不都合なのか?} \item{式からクーロン力の方向は、2つの電荷の延長線上である。延長線上である必 然はあるか?。他の方向を向くとどのような不都合があるか?} \end{itemize} % \begin{figure}[hbpt] \begin{center} \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0] {figure/Coulomb_low_vector.eps} \caption{クーロン力。ベクトルを使った表現} \label{fig:Qoulomb_low_with_vector} \end{center} \end{figure} % クーロンの法則の発見の歴史的経緯はおもしろい\footnote{この辺の経緯の話は、参考文 献~\cite{ジャクソン電磁気学上}と\cite{バークレー電磁気上}に書かれている内容をま とめたものである。}。まず最初の登場人物は、ジョセフ・プリーストリーと、あのベン ジャミン・フランクリンである。プリーストリーは、フランクリンにに示唆されて実験を 行い、中空の物体を帯電させて、その内側では電気的な作用が無いことを発見した。重力 の場合との類推で、電気的な力が距離の逆2乗で伝わると実験結果の意味を考えた。これ と同じ原理で\footnote{キャベンディッシュがジョセフ・プリーストリーの実験のことを 知っていたかは分からない。}、1772年にキャベンディッシュは巧妙な実験を行い、かな りの精度で逆2乗が成り立つことを発見した。それは、今で言うノーベル賞級の発見では あるが、彼はそれを公表しなかったのである。その発見の価値も知っていたにも関わらず である。ということで、物理学者中の変人ナンバーワンとしても良いだろう。最後に登場 するのがクーロンで、1785年にねじれ秤を使った実験により、力の逆2乗の法則を発見し て、発表した。そして、それ以降、クーロンの法則と呼ばれるようになった。 % % %===================================================================== \section{力の伝わり方} %===================================================================== %------------------------ \subsubsection{遠隔作用} %------------------------ 図\ref{fig:Qoulomb_low_with_vector}の電荷1が電荷2に及ぼす力が、媒介が無くても伝 わると考えるのが遠隔作用である。この解釈は受け入れがたく、通常は使われない。ニュー トンが万有引力の法則を発表したとき、それは遠隔作用で、なかなか受け入れがたかった ようである。何もない真空を通過して、力が伝わることに人々は難色を示したのである。 日常、見たり感じたりする力は、何かの媒質が介在するものである。液体や固体、気体を 通して力は感じるものである。でも、当時は磁石による力は分かっていて、それは遠隔作 用に思える。人々はどのように考えていたのか興味がある\footnote{たぶん、山本義孝の 「磁力と重力の発見」にこのことが書かれていると思われる}。 気とか超能力とか言う人は、遠隔作用を支持しているように思えるが、いかがなものか。 % %------------------------ \subsubsection{近接作用} %------------------------ 図\ref{fig:Qoulomb_low_with_vector}の電荷$Q_1$が直接$Q_2$に作用するのではない。 まず$Q_1$は、その近くの空間の物理的な状態を変化させ、それ変化が次々と伝わり、 $Q_2$に達した時点で、それに影響を及ぼす。$Q_1$は空間(場)に作用を及ぼし、$Q_2$は 空間から作用を及ぼされるのである。これは、明らかに遠隔作用ではなく、近接作用と呼 ばれる。これが場の考え方である。 観測される結果が遠隔作用と同じであれば、ただの言い換えに過ぎない。遠隔作用と近接 作用の決定的に異なることがある。それは、作用が伝わる時間である。遠隔作用では瞬時 に影響が伝わるが、近接作用では有限の時間が必要である。観測の結果、影響が伝わる速 度は、光速度と同じである。 電荷を急激に変化させて、その影響が有限の時間で伝わることが分かっている。電波など がその例で、人類はそれを利用しているのである。同じように質点を急激に変化させると その波(重力波)が観測されると理論的に考えられている。しかし、前にも述べたとおり、 重力は非常に小さいのでその観測は大変難しく、まだ重力波のはっきりした証拠は見つかっ ていない。 % %===================================================================== \section{課題} %===================================================================== %--------------------------------------------------------------------- \subsection{講義欠席者向け} %--------------------------------------------------------------------- 講義を欠席した場合、講義ノートは渡すので、私の研究室に取りにくること。あるいは、webに公開 するので、それで代用してもよい。ただ、学校の規則では欠課した場合 % \begin{itemize} \item 講義ノートを写したもの \item あるいはそれに代わるもの \end{itemize} % を提出するということになっている。私の場合、講義ノートは毎回配るので、後者を欠課 措置とする。今回は、以下をまとめ、レポートとして提出せよ。 % \begin{itemize} \item{クーロンがクーロンの法則を発見したときの実験装置は、どのような ものであったか?} \item{キャベンディッシュ(Cavendish)が重力定数を測定したときの実験装置 は、どのようなものであったか?} \end{itemize} % %--------------------------------------------------------------------- \subsection{課題（全員)} %--------------------------------------------------------------------- \begin{quote} \begin{itemize} \item[\textbf{[問1]}] 一直線上に$a$[m]をへだてて$q_1,\,q_2,\,q_3\,$[C]の三つの 点電荷がある。(1)それそれの電荷に働く力を求めよ。(2)3電荷 が平衡にあるためには、$q_1,\,q_2,\,q_3\,$をどのように選べ ばよいか。 \item[\textbf{[問2]}] 質量m[kg]、電荷Q[C]の小球2個をそれぞれ長さ$\ell$[m]の絶縁 糸で同一点から吊したとき、糸が角度$\theta$だけ傾いたとす れば、次の関係のあることを示せ。 \begin{align} 16\pi\varepsilon_0mg\ell^2\sin^3\theta=Q^2\cos\theta \nonumber \end{align} \end{itemize} \end{quote} %===================================================================== %======= 参考文献 ===================================================== \bibliographystyle{junsrt} \bibliography{reference} %===================================================================== \end{document}