%=====================================================================
% ���Ĺ��� �칶��1ǯ �ŵ������������ֵ��Ρ���
%�����ơ��� �٥��ȥ����(2)
%    �ܥƥ����Ȥ�����
%        ���Ϥ����
%        ��
%        ��
%
% last updated 2005.4.15
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem,float}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\times #1}
\newcommand{\pdiff}[3]{
 \if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
 \else \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi
}

%
\begin{document}
\title{�٥��ȥ����2(�٥��ȥ�ξ軻)}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω���Ĺ��ȹ�������ع������������ƥ๩���칶}}
\date{2005ǯ5��6��}
\maketitle
%
%
%=====================================================================
\section{�����μ�������}
%=====================================================================
�轵�ϡ��٥��ȥ�Ȥ�����Τ�������ơ����βû��α黻������������������
�軻�ˤĤ����������롣���Ƥϡ��ʲ��ΤȤ���Ǥ��롣
%
\begin{itemize}
 \item ���� (�����顼��)
 \item ���� (�٥��ȥ���)
\end{itemize}
%
%=====================================================================
\section{���� (�����顼��)}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{���Ѥ������黻}
%---------------------------------------------------------------------
���ͥ륮���ϡ�����$\times$��Υ�פȤ褯ɽ������롣�㤨�С����Ͼ�˼���$m$ ��ʪ��
�����ꡢ������ľ��$r$������ǰ�ư�������Ȥ��롣�ºݤˤϡ�ʪ�Τϱ�ľ����
�˽��Ϥˤ�����ĥ���Ƥ��ꡢ�����Ϥ�$mg$�Ǥ��롣�����Ϥ˹����ơ���Ϥ���
��Ʊ���礭����ȿ����������$F$��ä���ʪ�Τ�$r$�����夲�����Ȥˤʤ롣��
�ξ�硢����ʪ�Τΰ��֥��ͥ륮��(�ݥƥ󥷥��)������$\Delta U$�ϡ�$F r$
�Ȥʤ�Τ��ϳؤǳؽ������Ȥ���Ǥ��롣

���٤ϡ���ۤɤ�Ʊ����Υ�ǡ�ʪ�Τ򿿲��˰�ư�������Ȥ��롣���ξ�硢���֥��ͥ륮��
���Ѳ�$\Delta U$�ϥ����Ǥ��롣�ޤ����Ф�˰�ư���������ϡ�$\Delta U=Fr\cos\theta$�Ȥʤ롣����ϡ��⤵���Ѳ�ʬ�������֥��ͥ륮�����Ѳ��ˤʤ뤫��Ǥ�
�롣����Ϥ������ϡ�����3�Ȥ���ξ��ޤä���Ʊ���ǡ���ľ�����Ǥ��롣���ο�ľ��
������$F$�Ȱ�ư�����Ȥγ��٤�$\theta$�Ȥ���ȡ�3�̤�Ȥ�Ʊ����
%
\begin{align}
  \Delta U=Fr\cos\theta
\end{align}
%
�ǥ��ͥ륮�����Ѳ��򤢤�魯���Ȥ��Ǥ��롣

����ä�;�̤Ǥ��뤬������ޤǡ�3�̤����ˡ��ʪ�Τ��ư���������ޤ򸫤�ʬ�����
���ˡ�ʪ�Τ��ư������Ȥ���ˤ������Ϥ�Ʊ���Ǥ��롣Ʊ���ϤʤΤˡ���ư�������㤦
�ΤǤ��롣��̩�˹ͤ���ȡ���ư���Ϥޤ�ִ֤˲�®�٤����������Ϥ�������ɬ�פʤΤ�
���뤬�������Ǥ�̵�뤷�Ƥ��롣��ä��ꡢ�����ˤ�ä����ư���������Ȥ�ͤ���Τ�
���롣�⤦�����׹ͼ¸���ʤ��ȡ����ʪ�ΤȤδ֤ˤФ����Ĥ���ȡ��Ϥ��ͻҤ�ʬ
���롣�����ˤ�ä���ư�����С�3�̤�ΰ�ư�Ȥ�Ф��餬�����Ť���$m$���Ϥ�Ʊ���Ǥ�
�뤳�Ȥ�ʬ����Ǥ�������

�äϸ�����뤬���Ϥ�ʪ�Τΰ�ư�̤ϥ٥��ȥ��̤ʤΤ�$\vm{F},\,\vm{r}$�Ƚ�
�����ۤ����ʹ��ɤ�\footnote{��ۤɤϥΡ��ޥ���Τǽ񤭥����顼�̤Τ褦�˼�갷��
�������٥��ȥ��̤ʤΤǥܡ���ɽ��Τǽ񤤤���}����������ȡ����֥��ͥ륮�����Ѳ�
�ϡ�
%
\begin{align}
  \Delta U=|\vm{F}||\vm{r}|\cos\theta
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���μ��α��դ�����(�����顼��)�α黻�Ǥ��롣
%
%
\begin{center}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{tabular}{ccc}
   %---- ��ľ ---------------------------
   \begin{minipage}[b]{0.25\hsize}
    \begin{center}
     \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
     {figure/vertical_move.eps}
     \caption{��ľ�����ؤΰ�ư}
     \label{fig:vertical_move}
    \end{center}
   \end{minipage} &
   %---- ��ʿ -------------------
   \begin{minipage}[b]{0.4\hsize}
   \begin{center}
    \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
    {figure/horizontal_move.eps}
    \caption{��ʿ�����ؤΰ�ư}
    \label{fig:horizontal_move}
    \end{center}
   \end{minipage} &
   %---- �Ф� -------------------
   \begin{minipage}[b]{0.35\hsize}
   \begin{center}
    \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
    {figure/angle_move.eps}
    \caption{�Ф�ؤΰ�ư}
    \label{fig:angle_move}
   \end{center}
   \end{minipage}
  \end{tabular}
 \end{figure}
\end{center}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�٥��ȥ���(����)}
%---------------------------------------------------------------------
�����顼�Ѥ�ؽ��������ˡ��٥��ȥ�ȥ����顼������򼨤��Ƥ����Τ��ɤ���������

����μ��ȤǼ������褦�ˡ��٥��ȥ����ʬ�Ϻ�ɸ���˰�¸���Ƥ��롣��ɸ�����ۤʤ�ȡ�
����3��ʬ�ϰۤʤ롣��ɸ�����ž��������硢�٥��ȥ����ʬ���Ѵ��ϡ���ɸ�Ϥ��Ѵ�
��Ʊ���Ǥ��롣����Ū�ˤϡ���ɸ�Ϥ�
$(x,\,y,\,z)\rightarrow(x^\prime,\,y^\prime,\,z^\prime)$�Ȳ�ž�����롣���β�ž��
%
\begin{equation}
 \begin{bmatrix}
  x^\prime \\
  y^\prime \\
  z^\prime
 \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}
  a_{xx} & a_{xy} & a_{xz} \\
  a_{yx} & a_{yy} & a_{yz} \\
  a_{zx} & a_{zy} & a_{zz}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   x \\
   y \\
   z
  \end{bmatrix}
  \label{eq:trans_coordinate}
\end{equation}
%
�ȹ�����Ѥ���ɽ������\footnote{3�����β�ž��ɽ������ζ���Ū�ʷ��ϡ������顼�γѤ��ٶ�
���衣}��$(x,\,y,\,z)$��ɸ�Ϥλ��Υ٥��ȥ�$\vm{A}$����ʬ��$(E_x,\,E_y,\,E_z)$��
$(x^\prime,\,y^\prime,\,z^\prime)$��ɸ�ϤǤ�
$(E_x^\prime,\,E_y^\prime,\,E_z^\prime)$�Ȥ��롣��������ʬ�δط��ϡ�
%
\begin{equation}
 \begin{bmatrix}
  E_x^\prime \\
  E_y^\prime \\
  E_z^\prime
 \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}
  a_{xx} & a_{xy} & a_{xz} \\
  a_{yx} & a_{yy} & a_{yz} \\
  a_{zx} & a_{zy} & a_{zz}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   E_x \\
   E_y \\
   E_z
  \end{bmatrix}
  \label{eq:trans_vector}
\end{equation}
%
�Ȥʤ롣��(\ref{eq:trans_coordinate})�ȼ�(\ref{eq:trans_vector})�򸫤�ʬ����褦
�ˡ���ž���Ф��ƺ�ɸ���Ѵ��ȥ٥��ȥ����ʬ���Ѵ�������Ʊ���褦�˼�갷����Τ�
���롣���Τ褦�˺�ɸ�β�ž��Ʊ���褦�ˡ�������ʬ���Ѵ�������Τ�٥��ȥ�����
���롣����ϡ��٥��ȥ뤬�����֤˸��ꤵ�줿������Ū����Ȼפ������������Τ��ȤǤ�
�롣
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�����顼��}
%---------------------------------------------------------------------
�����顼�̤ϡ���ɸ�β�ž�ˤ���Ѳ����ʤ��̤�������롣���Ȥ��С��٥��ȥ���礭��
��2��
%
\begin{align}
 |\vm{E}|^2=E_x^2+E_y^2+E_z^2
\end{align}
%
�ϥ����顼�̤Ǥ��롣�����̤Ϻ�ɸ�Ϥβ�ž�˴ط��ʤ�������ͤǤ��롣�٥��ȥ�϶���
�˸��ꤵ�줿��Ǥ��ꡢ����Ĺ����2��Ǥ��뤫�������Τ褦�˻פ��롣�ºݤˤ�����
ǧ���Ƥߤ褦����(\ref{eq:trans_coordinate})�ȼ�(\ref{eq:trans_vector})�β�ž��ɽ
������ȥ٥��ȥ��
%
\begin{align}
 &\vm{A}=
 \begin{bmatrix}
  a_{xx} & a_{xy} & a_{xz} \\
  a_{yx} & a_{yy} & a_{yz} \\
  a_{zx} & a_{zy} & a_{zz}
 \end{bmatrix}
 & &\vm{E}=
 \begin{bmatrix}
  E_x \\
  E_y \\
  E_z
 \end{bmatrix}
\end{align}
%
��ɽ�����롣����ȡ�$\vm{E}^\prime=\vm{A}\vm{E}$�Ǥ��롣�����ơ�
$|\vm{E}|^2=\vm{E}^T\vm{E}$�Ǥ��롣��ž��κ�ɸ�ϤǤΥ٥��ȥ���礭����2���
%
\begin{align}
 |\vm{E}^\prime|^2
 &=\vm{E}^{\prime T}\vm{E}^\prime \nonumber \\
 &=\left(\vm{A}\vm{E}\right)^T\vm{A}\vm{E} \nonumber \\
 &=\vm{E}^T\vm{A}^T\vm{A}\vm{E} \nonumber \\
 &\qquad\qquad\text{��Ͽ���$\vm{A}^t=\vm{A}^{-1}$} \nonumber \\
 &=\vm{E}^T\vm{A}^{-1}\vm{A}\vm{E} \nonumber \\
 &=\vm{E}^T\vm{E} \nonumber \\
 &=|\vm{E}|^2
\end{align}
%
�Ȥʤ롣��ž����ǡ��٥��ȥ���礭�����Ѳ����ʤ������äơ�����ϥ����顼�̤Ǥ��롣

�����顼�̤Ϻ�ɸ�Ϥ���ž���Ƥ⡢�����ͤ��Ѥ��ʤ������Τ褦�˲�ž���Ф������Ѥ�
�̤򥹥��顼�̤�������롣���륹���顼��$\phi$��Ϳ����줿�Ȥ���ȡ����ξ�硢��
ɸ�Ϥ����ɬ�פϤʤ������֤Τ������β��٤ϡ���ɸ�Ϥ��ž�����Ƥ��Ѳ����ʤ����٥�
�ȥ����ʬ�ξ�硢��ɸ�����ۤʤ�Ȥ�����Ѳ�����Τ��礭�ʰ㤤�Ǥ��롣
%
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{����(�����顼��)�����}
%---------------------------------------------------------------------
�٥��ȥ���礭���η׻�������Ʊ���褦�ˤ��ơ��٥��ȥ�$\vm{A}$��$\vm{B}$���ѡ�
%
\begin{align}
 \vm{A}\cdot\vm{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
 \label{eq:sclar_prduct1}
\end{align}
%
�⥹���顼�̤Ǥ��뤳�Ȥ�������롣���α黻�����Ѥ�����Ȥ��롣����������顢
$\vm{A}\cdot\vm{B}=\vm{B}\cdot\vm{A}$�Ǥ��뤳�Ȥ�ľ����ʬ���롣

�����ǡ���ɸ���ž�����ơ�������$\mathrm{x}$��
��$\vm{A}$�������ˤ���ȡ�
%
\begin{align}
 &A_x=|\vm{A}| & &A_y=0 & &A_z=0 \\
 &B_x=|\vm{B}|\cos\theta & &B_y=|\vm{B}|\cos\zeta & &B_z=|\vm{B}|\cos\eta
\end{align}
%
�Ȥʤ롣$\theta,\,\zeta,\,\eta$�Ϥ��줾��μ��Ȥ�����;���Ǥ��롣���äơ����Ѥ�
�����ꡢ
%
\begin{align}
 \vm{A}\cdot\vm{B}=|\vm{A}||\vm{B}|\cos\theta
 \label{eq:sclar_prduct2}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣$\theta$�ϥ٥��ȥ�$\vm{A}$��$\vm{B}$�δ֤γ��٤ȹͤ��롣��������Ѥ�����
������ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣�ºݤˤϡ���(\ref{eq:sclar_prduct1})��
��(\ref{eq:sclar_prduct2})�δ�ñ������Ȥ����ɤ���

�������ǽ�˼��������֥��ͥ륮�����Ѳ� $\Delta U=|\vm{F}||\vm{r}|\cos\theta$ ��
���Ѥα黻�ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�ʬ���롣
%
\begin{align}
 \Delta U=\vm{F}\cdot\vm{r}
\end{align}
%
�����ơ�����ϥ����顼�̤Ȥʤ롣���ͥ륮���ϥ����顼�̤ʤΤ������η�̤Ǥ��롣

�Ǹ��$\mathrm{x},\,\mathrm{y},\,\mathrm{z}$����ñ�̥٥��ȥ�
$\vm{i},\,\vm{j},\,\vm{k}$�����Ѥα黻�򼨤��Ƥ�����
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &\vm{i}\cdot\vm{i}=1 & &\vm{i}\cdot\vm{j}=0 & &\vm{i}\cdot\vm{k}=0 \\
  &\vm{j}\cdot\vm{i}=0 & &\vm{j}\cdot\vm{j}=1 & &\vm{j}\cdot\vm{k}=0 \\
  &\vm{k}\cdot\vm{i}=0 & &\vm{k}\cdot\vm{j}=0 & &\vm{k}\cdot\vm{k}=1 \\
 \end{aligned}
\end{equation}
%
%
\begin{quote}
 \begin{itemize}
  \item[\textbf{[����1]}] 2�ĤΥ٥��ȥ�$\vm{A}$��$\vm{B}$�����Ѥ��������顼�̤�
			  ���뤳�Ȥ򼨤���
  \item[\textbf{[����2]}] ���Ѥα黻�����Ѥ��ơ��٥��ȥ�$\vm{A}=\vm{i}$��
			  $\vm{B}=5\vm{i}+5\vm{j}$�δ֤γ��٤���衣
 \end{itemize}
\end{quote}
%
%=====================================================================
\section{���� (�٥��ȥ���)}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�٥��ȥ��Ѥ������黻}
%---------------------------------------------------------------------
�ѱ�ư�̤ϡ��ֲ�ž�濴����ε�Υ$\times$��ư�̡פǤ��롣�㤨�С���
\ref{fig:angular_momentum}�ξ���ͤ��롣���������$\mathrm{y}$���˱�äƱ�ư��
�Ƥ���Ȥ��롣��ͳ��ư�ξ�硢�ѱ�ư�̤��Ѳ������������
3����Ʊ��Ǥ��롣������$\mathrm{z}$������γ�
��ư�̤�
%
\begin{align}
 L_z=|\vm{r}||p_y|\sin\theta
\end{align}
%
�Ǥ��롣���ͥ륮���Ȥϰۤʤꡢ���٤� $\sin$ �������äƤ��롣���Τ褦�ʥ٥��ȥ��
�������˳���(�٥��ȥ���)�����Ф��и���롣���Τ褦�� $\sin$ �������뤳�Ȥˤ���
��ư�̤�����Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣
%
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
  {figure/angular_momentum.eps}
  \caption{�ѱ�ư��}
  \label{fig:angular_momentum}
 \end{center}
\end{figure}
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�٥��ȥ��Ѥ����}
%---------------------------------------------------------------------
�ѱ�ư�̤�ȥ륯�ʤɤ��갷�����������ʤ褦�˥٥��ȥ��Ѥ�������롣����ϡ�
%
\begin{align}
 \vm{C}=\vm{A}\times\vm{B}
 \label{eq:vector_product}
\end{align}
%
�Ƚ񤫤�롣�黻�η�̤�$\vm{C}$�ϥ٥��ȥ�Ǥ��롣�����礭���ϡ�
%
\begin{align}
 |\vm{C}|=|\vm{A}||\vm{B}|\sin\theta
\end{align}
%
�Ȥ��롣�����ǡ�$\theta$�Ϥ��줾��Υ٥��ȥ�δ֤γ��٤Ǥ��롣����������������
$\vm{A}$��$\vm{B}$������ʿ�̤˿�ľ�ǡ�$\vm{A},\,\vm{B},\,\vm{C}$������Ϥ���
�����Ȥ��롣���Τ褦������������ȡ�
%
\begin{align}
 \vm{A}\times\vm{B}=-\vm{B}\times\vm{A}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣�Ѥν���������ؤ���ȡ���椬ȿ�Фˤʤ�ΤǤ��롣���Ѥξ��Ȱۤʤꡢ��
�����ν���Ͻ��פȤʤ롣

�٥��ȥ��Ѥδ�����Ū�ʰ�̣��ͤ��褦����(\ref{eq:vector_product})�α黻�ϡ���
\ref{fig:vector_product}�Τ褦�ˤʤ롣$\vm{A}$��$\vm{B}$����ޤ�ʿ�Ի��շ�������
��$\vm{A}$�Ȥ���ȡ��⤵��$|\vm{B}|\sin\theta$�Ȥʤ롣���äƤ������Ѥϡ�
$|\vm{A}||\vm{B}|\sin\theta$��ľ����ʬ���롣����ϡ�$|\vm{A}\times\vm{B}|$������
�������Τ��Ȥ��顢$\vm{A}\times\vm{B}$�Υ٥��ȥ��Ѥϡ�$\vm{A}$��$\vm{B}$����ޤ�
ʿ�Ի��շ������Ѥ��礭���Ȥ��ơ�����ʿ�Ի��շ���ʿ�̤˿�ľ�������Υ٥��ȥ�Ȥ���
������Ū�ʰ�̣�����뤳�Ȥ�����Ǥ��롣
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
  {figure/vector_product.eps}
  \caption{�٥��ȥ��Ѥδ�����Ū��̣}
  \label{fig:vector_product}
 \end{center}
\end{figure}
%

������顢ñ�̥٥��ȥ�Ʊ�ΤΥ٥��ȥ��Ѥα黻�ϴ�ñ�˵��뤳�Ȥ��Ǥ��롣
$\mathrm{x},\,\mathrm{y},\,\mathrm{z}$����ñ�̥٥��ȥ�
$\vm{i},\,\vm{j},\,\vm{k}$�α黻�ϡ����ΤȤ���Ǥ��롣
%
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  &\vm{i}\times\vm{i}=0 & &\vm{i}\times\vm{j}=k & &\vm{i}\times\vm{k}=-j \\
  &\vm{j}\times\vm{i}=-k & &\vm{j}\times\vm{j}=0 & &\vm{j}\times\vm{k}=i \\
  &\vm{k}\times\vm{i}=j & &\vm{k}\times\vm{j}=-i & &\vm{k}\times\vm{k}=0 \\
 \end{aligned}
\end{equation}
%
����ϡ�$\vm{i}\rightarrow\vm{j}\rightarrow\vm{k}\rightarrow\vm{i}\cdots$�Τ褦
�˥�������å����Ѳ��������������˥٥��ȥ��Ѥ򤫤����������ȿ�Фξ�����ȳ�
���롣

�����Ȥäơ��٥��ȥ����ʬ�ǹͤ��롣�٥��ȥ�
$\vm{A}=A_x\vm{i}+A_y\vm{j}+A_z\vm{k}$��
$\vm{B}=B_x\vm{i}+B_y\vm{j}+B_z\vm{k}$�Υ٥��ȥ��Ѥϡ�
%
\begin{align}
 \vm{C}=&\vm{A}\times\vm{B} \nonumber \\
 =&\left(A_x\vm{i}+A_y\vm{j}+A_z\vm{k}\right)\times
 \left(B_x\vm{i}+B_y\vm{j}+B_z\vm{k}\right) \nonumber \\
 =&
 A_xB_x\left(\vm{i}\times\vm{i}\right)+
 A_xB_y\left(\vm{i}\times\vm{j}\right)+
 A_xB_z\left(\vm{i}\times\vm{k}\right)+\nonumber\\
 &
 A_yB_x\left(\vm{j}\times\vm{i}\right)+
 A_yB_y\left(\vm{j}\times\vm{j}\right)+
 A_yB_z\left(\vm{j}\times\vm{k}\right)+\nonumber\\
 &
 A_zB_x\left(\vm{k}\times\vm{i}\right)+
 A_zB_y\left(\vm{k}\times\vm{j}\right)+
 A_zB_z\left(\vm{k}\times\vm{k}\right)+\nonumber\\
 &=
 \left(A_yB_z-A_zB_y\right)\vm{i}+
 \left(A_zB_x-A_xB_z\right)\vm{j}+
 \left(A_xB_y-A_yB_z\right)\vm{k}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣���줫�顢�٥��ȥ��Ѥα黻����ʬ��ɽ����
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  C_x=A_yB_z-A_zB_y \\
  C_y=A_zB_x-A_xB_z \\
  C_z=A_xB_y-A_yB_z
 \end{aligned}
\end{equation}
�Ȥʤ롣���μ��ϡ��Ф��ˤ����Τǡ����󼰤��Ѥ���
\begin{align}
 \vm{A}\times\vm{B}=
 \begin{vmatrix}
  \vm{i} & \vm{j} & \vm{k} \\
  A_x & A_y & A_z \\
  B_x & B_y & B_z
 \end{vmatrix}
\end{align}
��ɽ�����Ȥ��褯���롣���ι��󼰤��Ѥ���ɽ���������ʤΤǳФ��Ƥ��������ɤ���������

$\vm{A}\times\vm{B}$���٥��ȥ�ˤʤ뤳�Ȥξ����Ϥ��Ƥ��ʤ�����ɸ�����ž��������
��Τ�����ʬ�ο����񤤤�ͤ��ʤ��Ƥʤ�ʤ�����̣������Ԥϥȥ饤���Ƥߤ�Τ��ɤ�
�������������Ǥϼ����ʤ��������Υ٥��ȥ��Ѥη׻���̤ϥ٥��ȥ�ˤʤ�ΤϤ�������
���롣
%
\begin{quote}
 \begin{itemize}
  \item[\textbf{[����1]}] $\vm{A}=\vm{i}+3\vm{j}$��
			  $\vm{B}=5\vm{i}+5\vm{j}$�Υ٥��ȥ��Ѥ���衣
  \item[\textbf{[����2]}] $\vm{A}=2\vm{i}+\vm{j}-\vm{k}$��
			  $\vm{B}=\vm{i}-\vm{j}+\vm{k}$��ξ���˿�ľ��ñ�̥٥��ȥ�
			  ����衣��
 \end{itemize}
\end{quote}
%
%=====================================================================
\section{����}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{�ֵ����ʼԸ���}
%---------------------------------------------------------------------
%
\begin{itemize}
 \item{���Ƥ����������򤱡�ʬ����ʤ����ϡ���ΤȤ����ؼ���ˤ��뤳�ȡ�}
\end{itemize}
%
%=====================================================================
\newpage
\section{��Ͽ}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��ž��ɽ������ˤĤ���}
%---------------------------------------------------------------------
��ž��ɽ�������������Ĵ�٤롣�塹���Թ��ͤ��ơ������ƥ������ɸ�Ϥ�
$(x,\,y,\,z)$�������$(x_1,\,x_2,\,x_3)$��ɽ�����Ȥˤ��롣��ɸ�β�ž�ˤ�ꡢ��ɸ��
$(x_1,\,x_2,\,x_3)\rightarrow (x_1^\prime,\,x_2^\prime,\,x_3^\prime)$�ȡ��٥���
�����ʬ��$(E_1,\,E_2,\,E_3)\rightarrow(E_1^\prime,\,E_2^\prime,\,E_3^\prime)$ 
���Ѵ�����롣�������Ѵ��Ϲ�����Ѥ��ơ�
\begin{align}
 &\begin{bmatrix}
   x_1^\prime \\
   x_2^\prime \\
   x_3^\prime
  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  x_1 \\
  x_2 \\
  x_3
 \end{bmatrix}
 & &\begin{bmatrix}
     E_1^\prime \\
     E_2^\prime \\
     E_3^\prime
    \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  E_1 \\
  E_2 \\
  E_3
 \end{bmatrix}
 \label{eq:rot_trans_3dim}
\end{align}
%
��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣����򤤤�������ʬ�ǽ񤫤��ˡ�$\vm{x}^\prime=\vm{A}\vm{x}$��
$\vm{E}^\prime=\vm{A}\vm{E}$�Ƚ񤯡�$\vm{A}$����ž��ɽ������Ǥ��롣���ι������
���򾯤��ͤ��Ƥߤ褦��

��ž��ɽ���������ʬ$a_{ij}$�ϡ�$i$����$j$��������;����ɽ���Ƥ��롣����
�ϡ�2�����β�ž��ͤ���д�ñ��ʬ���롣2�����β�ž�ϡ�
%
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x^\prime \\
  y^\prime
 \end{bmatrix}
 &=
 \begin{bmatrix}
  \cos\theta & \sin\theta \\
  -\sin\theta & \cos\theta
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  x \\
  y
 \end{bmatrix} \nonumber \\
 &=
 \begin{bmatrix}
  \cos\theta & \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
  \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) & \cos\theta
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  x \\
  y
 \end{bmatrix}
\end{align}
%
�Ȥʤ롣����ȡ���\ref{fig:rot_two_dim}���顢��ž��ɽ���������ʬ�ϼ�������;��
�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣����;���Ϥ�����������ʬ��ɽ���ΤǤ��뤫�������Ǥ�������
%
\begin{figure}[hbpt]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
  {figure/rot_two_dim.eps}
  \caption{��ɸ���β�ž}
  \label{fig:rot_two_dim}
 \end{center}
\end{figure}
%

�����Τ��Ȥ��顢$a_{ij}$�ϥץ饤�ब�Ĥ�$i$���ȥץ饤�ब�դ��ʤ�$j$��������;
����ɽ�������äơ�
%
\begin{align}
 x_i^\prime &= \sum_{j=1}^3 a_{ij} x_j \\
 x_j & = \sum_{i=1}^3 a_{ij} x_i^\prime
\end{align}
%
�Ȥʤ롣�����μ��Τ��������Ԥϼ�(\ref{eq:rot_trans_3dim})��ɽ������Ԥμ��ϡ�
$i$��$j$�������ؤ���ȡ�
%
\begin{align}
 x_i & = \sum_{j=1}^3 a_{ji} x_j^\prime
\end{align}
%
�Ȥʤ롣��ž�ι���ž�ֹ���ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�ʬ����Ǥ����������ʤ����
%
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
   x_1 \\
   x_2 \\
   x_3
  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
  a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
  a_{13} & a_{23} & a_{33}
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  x_1^\prime \\
  x_2^\prime \\
  x_3^\prime
 \end{bmatrix}
\end{align}
%
�Ǥ��롣�����Τ��Ȥ��顢��ɸ������ž�������κ�ɸ��٥��ȥ���Ѵ��ϴ�ñ��ɽ��
���Ȥ��Ǥ��롣���ʤ����
%
\begin{align}
 &\vm{x}^\prime=\vm{A}\vm{x} \\
 &\vm{x}=\vm{A}^T\vm{x}^\prime
\end{align}
%
�Τ褦�ˤǤ��롣

�����μ�����٤�ȡ����פʷ��
%
\begin{align}
 \vm{A}^{-1}=\vm{A}^T
\end{align}
%
�������롣
%
\begin{quote}
 \begin{itemize}
  \item[\textbf{[����1]}] 2���������ƥ������ɸ�Ϥβ�ž��ɽ������εչ������
			  �衣
  \item[\textbf{[����2]}] ���εչ���ϡ����ι����ž�ֹ���ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�
			  ������
 \end{itemize}
\end{quote}
%======= ����ʸ�� =====================================================
\bibliographystyle{junsrt}
\bibliography{reference} 
%=====================================================================
\end{document}
