%=====================================================================
% ���Ĺ��� ���������ƥ๩���칶 1ǯ �ŵ�������������ͽ���������
%
% last updated 2005.09.16
%    created by  Masashi Yamamoto
%     e-mail yamamoto@akita-nct.jp
%=====================================================================
\documentclass[10pt,a4paper]{jarticle}
\usepackage{graphicx,amsmath,amssymb,ascmac,theorem,float}
\usepackage{html}
\oddsidemargin 0mm  %����;�� 25.4mm-0mm������ڡ���
\evensidemargin 0mm %����;�� 25.4mm-0mm�������ڡ���
\textwidth 160mm
%
\newcommand{\diff}[0]{\mathrm{d}}
\newcommand{\vm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\grad}[1]{\nabla #1}
\renewcommand{\div}[1]{\nabla\cdot #1 }
\newcommand{\rot}[1]{\nabla\times #1}
\newcommand{\vnabla}[0]{\vm{\nabla}}
\newcommand{\pdiff}[3]{
 \if 1#1 \frac{\partial #2}{\partial #3}
 \else \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}\fi
}
%
\newcounter{toi_num}
\newcommand{\toi}{\textbf{\texttt [��\arabic{toi_num}]}
   \addtocounter{toi_num}{1}}
%
%
\begin{document}
\title{��֥ƥ�����}
\date{2005ǯ9��28��}
\author{���ܾ���\thanks{��Ω����ˡ�͡����Ĺ��ȹ�������ع������������ƥ๩���칶}}
\maketitle
%
%=====================================================================
\section{���ž�}
%=====================================================================
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{����}
%---------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------
\subsubsection{�Ų٤����ž�������ˡ}
%-----------------------------------
���ž������Ǥϡ��ޥ������������������
\begin{align}
 \div{\vm{D}}=\rho
\end{align}
��Ȥ���礬¿����Ͷ���Τ�����򰷤�ʤ���С�$\vm{D}=\varepsilon\vm{E}$���Ѥ��ơ�
\begin{align}
 \div{\vm{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon}
\end{align}
��Ȥ�������ñ�Ǥ��롣����ȡ�������������
\begin{align}
 \int_S \vm{A}\cdot\vm{n}\diff S=\int_{V}\div{\vm{A}}\diff V
\end{align}
���Ѥ���ȡ�
\begin{align}
 \int_S \vm{E}\cdot\vm{n}\diff S=\frac{1}{\varepsilon}\int_{V}\rho\diff V
 \label{eq:law_gauss_int}
\end{align}
�Ȥ�����ʬ���μ��������롣����Ū������Ǥϡ�������ʬ���μ���׻�����������ñ��
���롣�����Ĥ����ΰ��ɽ�̤Ǥ��ž����ʬ�ϡ����������Ų��̤�Ͷ��Ψ�ǳ�ä���Τ�
�������ȸ��äƤ��롣
%
%------------------------------------
\subsubsection{�ݥƥ󥷥��������ˡ}
%------------------------------------
�����Ǹ����ݥƥ󥷥��ˤϤ��������ʸƤ��������롣���ťݥƥ󥷥��䥹���顼�ݥ�
�󥷥�롢�Ű̡��Ű����Ű̺��ʤɤǤ��롣�����ϡ�����Ʊ��ʪ���̤�ɽ�����Ȥ�����
��ɬ�פǤ��롣�����Ǥϡ�ñ�˥ݥƥ󥷥��ȸƤ֤��Ȥˤ��롣

�ݥƥ󥷥��$\phi$�ϡ�
\begin{align}
 \vm{E}=-\grad{\phi}
 \label{eq:diff_potential}
\end{align}
���������롣����ȡ����ۤ���ʬ������
\begin{align}
 \phi(b)-\phi(a)=\int_a^b\grad{\phi}\cdot\diff\vm{r}
\end{align}
���顢
\begin{align}
 \phi(b)-\phi(a)=-\int_a^b\vm{E}\cdot\diff\vm{r}
 \label{eq:phi_form_int_E}
\end{align}
�Ȥʤ롣����ϡ�2���֤Υݥƥ󥷥��κ���ɽ�����Ǥ��롣�ž줬ʬ���äƤ����硢
���μ����顢�ݥƥ󥷥���׻�����Τ���äȤ��ñ�Ǥ��롣

���ˡ��Ų٤�ʬ���äƤ�����Υݥƥ󥷥��ε������ͤ��ʤ��ƤϤʤ�ʤ���������
���ˡ§���顢�������Ų�$Q$�κ���ž�ϡ�
\begin{align}
 \vm{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\frac{\vm{r}}{r}
\end{align}
�Ǥ��롣�������äơ��������ʬ���뤳�Ȥˤ��ݥƥ󥷥��ϡ�
\begin{align}
 \phi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}+C
\end{align}
�Ȥʤ롣���μ��򡢸��μ�(\ref{eq:diff_potential})����������С����������ˡ§��
��Ƴ������ž줬�����뤳�Ȥ��顢���������Ȥ�ʬ���롣�����ǡ���ʬ���$C$������
�ޤʤΤǡ��ݥƥ󥷥��δ����뤳�Ȥˤ�ꡢ�����õ�롣�̾$C=0$�ˤʤ�
�褦�ˡ�̵�±���������($\phi(\infty)=0$)�ˤʤ�褦�����Ф�롣�������äơ����Ų�
$Q$���濴�����Υ$r$Υ�줿���֤Υݥƥ󥷥��ϡ�
\begin{align}
 \phi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}
\end{align}
�Ȥʤ롣���Ų٤���¿������Ȥ����­�����碌��Ϣ³Ū��ʬ�ۤ��Ƥ������ʬ
\begin{align}
 \phi(\vm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac{\rho(r^\prime)}{|r-r^\prime|}\diff V^\prime
\label{eq:potential_int_rho}
\end{align}
������ˤ����롣

�ݥƥ󥷥��δ�������硢���դ��ʤ��ƤϤʤ�ʤ����Ȥ����롣����ˤ�ꡢ��
���Ƥ���Ϥ��Ų��̤�̵�¤ˤʤ��硢��(\ref{eq:potential_int_rho})�Υݥƥ󥷥��
��ȯ�����롣���Τ褦�ʾ��ϡ�Ŭ���ʾ��$\vm{r}_0$����Ȥ��ơ�
\begin{align*}
 \phi(\vm{r})-\phi(\vm{r}_0)=-\int_{\vm{r}_0}^{\vm{r}}\vm{E}\cdot\diff\vm{r}
\end{align*}
��׻����롣�̾���ݥƥ󥷥��ϥ����Ȥ���Τǡ�$\phi(\vm{r}_0)$=0���Ѥ��ơ�
\begin{align}
 \phi(\vm{r})
 =-\int_{\vm{r}_0}^{\vm{r}}\vm{E}\cdot\diff\vm{r}\\
 \label{eq:phi_form_int_E_ref_r0}
\end{align}
�Ȥʤ롣
%
%-------------------------------------------
\subsubsection{�ݥƥ󥷥�뤫���ž�������ˡ}
%-------------------------------------------
�ݥƥ󥷥�뤬ʬ���äƤ����硢�ž�ϴ�ñ�˵����롣�ݥƥ󥷥�������μ�
\begin{align}
 \vm{E}=-\grad{\phi}
\end{align}
��Ȥ������Ǥ��롣��ʬ����٤ơ���ʬ�ϴ�ñ�Ǥ��롣
%
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{��������Ȳ���}
%---------------------------------------------------------------------
\setcounter{toi_num}{1}
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 Ⱦ��$a$�ε�̤�ɽ�̾���Ų�$Q$��Ϳ�����Ȥ�������⳰���ž����衣
\end{itembox}
\vspace{5mm}
%

��̤��濴�����Ȥ������ɸ��ͤ��롣���θ������濴�Ȥ��ơ����Ƥ��оΤʤΤǡ���
�����ʬ�Τ�����$E_r$�Τ��ͤ���Ĥ��Ȥ��Ǥ���¾����ʬ��
\begin{align*}
 &E_\theta=0& &E_\phi=0&
\end{align*}
�ȥ����Ȥʤ롣�����Ǥ��䤤�ϡ�����$E_r$����뤳�Ȥ˵��夵��롣

����$E_r$����뤿��ˡ���\ref{eq:law_gauss_int}����ʬ���Υ�������ˡ§��Ȥ���
�Ȥˤʤ롣���μ���Ŭ�Ѥ����ΰ�򡢤��ε�̤��濴�ˤ�������ˤ������ʬ�ϴ�ñ�ˤ�
�롣�ž��������$r$�Ȥ���ȡ����μ��κ��դϡ�
\begin{align*}
 \int_S \vm{E}\cdot\vm{n}\diff S=4\pi r^2E_r
\end{align*}
�Ȥʤ롣��ʬ�ΰ�ε��ɽ�̤Ǥϡ��ž�$E_r$�ϰ���ǡ���ʬ�ΰ��ˡ�������Ȱ��פ���
����Ǥ��롣���������դ�
\begin{equation*}
 \frac{1}{\varepsilon}\int_{V}\rho\diff V=
   \begin{cases}
    0 & \text{$r\le a$�ΤȤ�}\\
    \cfrac{Q}{\varepsilon} & \text{$a\le r$�ΤȤ�}
   \end{cases}
\end{equation*}
�Ȥʤ롣�������äơ�
\begin{equation*}
 4\pi r^2E_r=
   \begin{cases}
    0 & \text{$r\le a$�ΤȤ�}\\
    \cfrac{Q}{\varepsilon} & \text{$a\le r$�ΤȤ�}
   \end{cases}
\end{equation*}
�Ǥ��롣���줫�顢��̤��⳰���ž�ϡ�
\begin{equation*}
 E_r=
   \begin{cases}
    0 & \text{$r\le a$�ΤȤ�}\\
    \cfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} & \text{$a\le r$�ΤȤ�}
   \end{cases}
\end{equation*}
�Ȥʤ롣
%
\vspace{20mm}
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 Ⱦ��$a$��̵�¤�Ĺ������Τʤ��ˡ��Ų�̩�٤�$\rho(r)=3Q(r-a)/\pi a^3$���Ų٤�ʬ��
 ���Ƥ��롣���α�����⳰�����ťݥƥ󥷥�����衣�ʤ���$r$�ϱ�����濴������
 �ε�Υ�Ǥ��롣
\end{itembox}
\vspace{5mm}
%

\fbox{����:���ʽ�β����ˤϴְ㤤�����롣}

��������ϡ����оΤǤ��롣�������äơ������ɸ��$(r,\theta,z)$��Ȥ������꤬��ñ
�Ǥ��롣�����ơ���������Ǥϡ��ž줬��ñ�˵�����Τǡ��ž����ʬ���뼰
\ref{eq:phi_form_int_E}��Ȥ����Ȥˤʤ롣

�о����ˤ�ꡢ�ž�ϡ�
\begin{align*}
 &E_{\theta}=0& &E_z=0&
\end{align*}
�Ȥʤꡢ�ͤ���ĤΤ�$E_r$�ΤߤǤ��롣�����ž��(\ref{eq:law_gauss_int})���Ѥ���
�׻����뤳�Ȥˤ��롣��ʬ���ΰ��Ĺ��$L$��Ⱦ��$r$�α���������硢���μ��κ��դϡ�
\begin{align*}
 \int_S \vm{E}\cdot\vm{n}\diff S=2\pi rLE_r
\end{align*}
�Ȥʤ롣�����ξ岼�Τդ�����ʬ�ϡ�$E_z=0$�Τ��ᡢ��ʬ�ϥ����ˤʤ롣������$r\le
a$�ξ�硢���դ�
\begin{align*}
 \frac{1}{\varepsilon_0}\int_{V}\rho\diff V
 &=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_0^{2\pi}\diff\theta\int_0^L\diff z
 \int_0^r \frac{3Q(r-a)}{\pi a^3}r\diff r\\
 &=\frac{2\pi L}{\varepsilon_0}\frac{3Q}{\pi a^3}\left[\frac{r^3}{3}-\frac{ar^2}{2}\right]_0^{r}\\
 &=\frac{LQr^2\left(2r-3a\right)}{\varepsilon_0 a^3}
\end{align*}
�Ȥʤ롣�����ǡ�$\diff V=\diff x \diff y \diff z=r\diff \theta\diff r \diff z$��
�Ȥä����ޤ���$a\le r$�ξ��ϡ���ʬ�ϰϤ�$[0,a]$�ˤʤ롣�������äơ���μ���
$r\rightarrow a$�Ȥ���Ф褯��
\begin{align*}
\frac{1}{\varepsilon_0}\int_{V}\rho\diff V=-\frac{LQ}{\varepsilon_0}
\end{align*}
�Ǥ��롣�ʾ��ޤȤ��ȡ���������ˡ§����ʬ���μ�(\ref{eq:law_gauss_int})�ϡ�
\begin{equation*}
 2\pi rLE_r=
 \begin{cases}
  \cfrac{LQr^2\left(2r-3a\right)}{\varepsilon_0 a^3} & \text{$r\le a$�ΤȤ�}\\
  -\cfrac{LQ}{\varepsilon_0} & \text{$a\le r$�ΤȤ�}\\
 \end{cases}
\end{equation*}
�Ȥʤ롣���줫�顢ľ�����ž�$E_r$��
\begin{equation*}
 E_r=
 \begin{cases}
  \cfrac{Qr\left(2r-3a\right)}{2\pi\varepsilon_0 a^3} & \text{$r\le a$�ΤȤ�}\\
  -\cfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r} & \text{$a\le r$�ΤȤ�}\\
 \end{cases}
\end{equation*}
��Ƴ����롣

�ž줬����줿�Τǡ��������ʬ���ƥݥƥ󥷥�����롣����������Ų٤ϡ�̵��
��Ĺ������ȤʤäƤ���Τǡ�̵�¤��Ų٤��ޤޤ�롣�������äơ�̵�±󤫤���ž����ʬ��ȯ
�����Ƥ��ޤ����Τǡ�̵�±�������ˤ���櫓�ˤϤ����ʤ��������ǡ�$r=a$�ξ�����
�Ȥ���$\phi(a)=0$�Ȥ��롣¾�ξ�����ˤ��Ƥ��ɤ�������������Ȥ�����硢���
�Ȥ���ʬ���ưפǤ��롣��(\ref{eq:phi_form_int_E_ref_r0})�˽�����ʬ��Ԥ����Ȥˤ�
�롣$r\le a$�ξ��ϡ�
\begin{align*}
 \phi(r)
 &=-\int_a^r \frac{Qr\left(2r-3a\right)}{2\pi\varepsilon_0 a^3}\diff r\\
 &=\frac{Q\left(5a^3-9ar^2+4r^3\right)}{12\pi\varepsilon_0 a^3} 
 \qquad r \le a\\
\end{align*}
�Ȥʤ롣������$r\ge a$�ξ��ϡ�
\begin{align*}
 \phi(r)
 &=-\int_a^r \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r}\diff r\\
 &=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0}\log\left(\frac{r}{a}\right)
\qquad r\ge a
\end{align*}
�Ǥ��롣

\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 Ⱦ�¤����줾��$a$��$b(\ge a)$��Ƴ�ε��Ʊ���ˤ��ƤĤ��ä��������ǥ󥵡�������
 ���̤���衣
\end{itembox}
\vspace{5mm}

����ǥ󥵡�����¦���Ŷˤ��Ų���$Q$���Ű�$V$����������$C$�ˤϡ�
\begin{align}
 Q=CV
\end{align}
�δط������롣�����Ȥä��Ų��̤���뤳�Ȥˤʤ롣�����ǡ�����ǥ󥵡�����¦��
�Ŷ�(Ⱦ��$a$)��$Q$���Ų١���¦���Ŷ�(Ⱦ��$b$)��$-Q$���Ų٤�����Ȥ��롣���ξ���
���Ű�(�ݥƥ󥷥��)����ơ��������̤���뤳�Ȥˤ��롣

���ξ��⡢�Ű����ž����ʬ������ˤ�����Τ���ñ�Ǥ��롣���꤬�����Ƶ����
�ΤǶ˺�ɸ�Ϥ��Ѥ��뤳�Ȥˤ��롣��¦�ȳ�¦���Ŷ˴֤��������ž�ϡ��о����ˤ��
\begin{align}
 &E_\theta=0& &E_\varphi=0&
\end{align}
�Ȥʤꡢ$E_r$����뤳�Ȥ�����ϵ��夵��롣����ϡ���ʬ���Υ�������ˡ§���Ѥ�
�뤳�Ȥˤ���ưפ˷׻��Ǥ��롣��¦�ȳ�¦�δ֤�Ʊ���ε���ΰ��ͤ�������ˡ§��Ŭ
�Ѥ��롣��(\ref{eq:law_gauss_int})�κ��դϡ�
\begin{align}
 \int_S \vm{E}\cdot\vm{n}\diff S=4\pi r^2E_r \qquad a\le r \le b 
\end{align}
�Ȥʤ롣���������դ�
\begin{align}
 \frac{1}{\varepsilon_0}\int_{V}\rho\diff V = \frac{Q}{\varepsilon_0}
\end{align}
���α��դȺ��դ��������Τǡ��Ŷ˴֤��ž��
\begin{align}
 E_r=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \qquad a\le r \le b
\end{align}
�Ȥʤ롣

���줫���Ŷ˴֤��Ű̺��ϡ������ž����ʬ���뤳�Ȥˤ������롣��ʬ�η�̤�
\begin{align}
 V(a)-V(b)
 &=-\int_b^a \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\diff r\\
 &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\\
 &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{b-a}{ab}
\end{align}
�Ȥʤ롣

�ǽ�˼��������Ű����Ų��̡��������̤δط������顢
\begin{align}
 C
 &=\frac{Q}{V}\\
 &=Q\frac{4\pi\varepsilon_0}{Q}\frac{ab}{b-a}\\
 &=\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}
\end{align}
�Ȥʤ롣

\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ���줾����դ�Ĺ����$a, b$��Ĺ�������Ŷˤ���Ǥ��Ƥ��륳��ǥ󥵡����Ŷˤ�������
 ��ʿ�ԤǤʤ���Ĺ��$a$���դ˱褦�����ΰ�ü�ε�Υ��$d+\delta$��¾ü�ε�Υ��
 $d-\delta$�ˤʤäƤ��롣���Υ���ǥ󥵡����������̤�$d\gg \delta$�Ȥ���$(\delta
 /d)$��2�������٤ǵ��衣
\end{itembox}
\vspace{5mm}

\fbox{����:���ʽ�β����Υƥ��顼Ÿ���˴ְ㤤�����롣}

ʿ��ʿ�ĥ���ǥ󥵡�����������$C$�ϡ�
\begin{align}
 C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}
\end{align}
�Ȥʤ롣�������äơ������������̤ϡ�
\begin{align}
 \diff C
 &=\frac{\varepsilon_0}{d}\diff S\\
 &=\frac{\varepsilon_0}{d}\diff y \diff x
\end{align}
�Ƚ񤤤Ƥ��ɤ���������

�����Ȥäơ�����Υ���ǥ󥵡����������̤���롣ñ����ʬ�򤹤�������äǤ��롣
�������̤�
\begin{align}
 C
 &=\varepsilon_0\int_{-b/2}^{b/2}\diff y
 \int_{-a/2}^{a/2}\frac{1}{d+\frac{2\delta}{a}x}\diff x\\
 &=\varepsilon_0b\times
 \frac{a}{2\delta}\log\left(\frac{d+\delta}{d-\delta}\right)\\
 &=\frac{\varepsilon_0 ab}{2\delta}\log\left(\frac{1+\delta/d}{1-\delta/d}\right)
\end{align}
�Ȥʤ롣�����$\delta\ll 1$�Ȥ��ƥƥ��顼Ÿ�����롣�����ǡ��ƥ��顼Ÿ����
\begin{align}
 \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\frac{2x^7}{7}+\cdots
\end{align}
���Ѥ��롣����ȡ�����ǥ󥵡����������̤ϡ�
\begin{align}
 C
 &\simeq\frac{\varepsilon_0 ab}{2\delta}\left[2\left(\frac{\delta}{d}\right)+
 \frac{2}{3}\left(\frac{\delta}{d}\right)^3\right]\\
 &\simeq\frac{\varepsilon_0 ab}{d}\left[1+
 \frac{1}{3}\left(\frac{\delta}{d}\right)^2\right]
\end{align}
�Ȥʤ롣

%
%=====================================================================
\section{�ŵ���ϩ}
%=====================================================================
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\setcounter{toi_num}{1}
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �ޤβ�ϩ��ξüAB�֤��Ű�$V$�򤫤����Ȥ����ޤ���ή$I_0$�ζ�����Ǿ��ˤ���ˤϡ�P
 ���ΰ��֤�CD�֤Τɤ��ˤ���Ф褤����
 \begin{figure}[H]
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
   {figure/circuit.eps}
  \end{center}
 \end{figure}
\end{itembox}

���ʽ�ˤʤ餤CP�֤��񹳤�$X$�Ȥ��롣����ȡ�PD�֤��񹳤�$R_1-X$�Ȥʤ롣���Ȥϡ�
����ҥۥåդ�ˡ§��Ȥ��з׻��Ǥ��롣���β�ϩ
��ή�����ή��$I_i$�����β�ϩ��ή�����ή��$I_0$�Ȥ��롣����ȡ��ʲ���ϢΩ������
\begin{align*}
 &V-I_1X-(I_1-I_0)R_2=0\\
 &-(I_0-I_1)R_2-I_0(R_1-X)=0
\end{align*}
������Ω�ġ����줫�顢$I_0$����뤳�Ȥˤʤ뤬�����ɤ������Τ�Mathematica���
���������
\begin{align*}
 I_0=\frac{R_2V}{-X^2+R_1X+R_1R_2}
\end{align*}
�Ȥʤ롣

������ή��Ǿ��ˤ��뤿��ˤϡ�ʬ������ˤ���ɬ�פ����롣�����ʤ��Ȥˡ�ʬ��Ͼ�
���̤��󼡴ؿ��ʤΤǡ������ͤ����롣Ƴ�ؿ��������ξ��ǡ�
\begin{align*}
 -2X+R_1=0
\end{align*}
�Ȥʤ롣�������äơ�
\begin{align*}
 X=\frac{R_1}{2}
\end{align*}
�Ȥʤꡢ���١�$R_1$��������P�ˤ���Ф褤��

\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �����Ϥ�$\phi^e$�������񹳤�$r$��$n$�Ĥ����Ӥ�ľ��ޤ����������³�����������
 ��$R$�ˤĤʤ����Ȥ������줾��β�ϩ��ή�����ή�ζ�������衣
\end{itembox}

$n$��ľ��ˤĤʤ������ϡ�$n\phi^e$���Ű���$nr$���񹳤�$R$���񹳤˰��Ĥ��줿��
�ͤ��롣�������äơ����ξ�硢ή�����ή�ϡ�
\begin{align*}
 I=\frac{n\phi^e}{nr+R}
\end{align*}
�Ȥʤ롣

����ˤĤʤ���������$R$��ή�����ή��$I$�Ȥ��롣����ȡ������Ӥ�ή�����ή��
$I/n$�Ȥʤ롣�������ˡ§�ȥ���ҥۥåդ�ˡ§��Ȥ��ȡ�
\begin{align*}
 \phi^e-\frac{I}{n}r-IR=0
\end{align*}
�Ȥʤ롣���줫�顢��ή�ϡ�
\begin{align*}
 I=\frac{n\phi^e}{r+nR}
\end{align*}
�Ȥʤ롣
%=====================================================================
\section{�ż���}
%=====================================================================
\setcounter{toi_num}{1}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 Ⱦ��$a$��̵�¤�Ĺ���������Ƴ����򡢰��ͤ�̩�٤Ƕ���$I$����ή��ή��Ƥ���Ȥ���
 ������⳰�������뼧«̩�٤���衣
\end{itembox}

���о�����ʤΤǡ������ɸ�Ϥ�Ȥ��Τ���ñ�Ǥ��롥��ή������Ȥ����ż���ϡ�����
�ڡ����ˡ§
\begin{align*}
 \rot{\vm{B}}=\mu_0\vm{j}
\end{align*}
���Ѥ���ȴ�ñ�˷׻��Ǥ��롥�������Ƴ����������ή̩��$\vm{j}$�ϡ�$I/\pi a^2$��
���롥������Ƴ�γ����Ǥ�$\vm{j}=0$�Ȥʤ롥

����ڡ����ˡ§�򥹥ȡ��������������Ѥ��ơ���ʬ���˽񤭲����ȡ�
\begin{align}
 \oint \vm{B}\cdot\ell=\mu_0\int_S\vm{j}\cdot\diff S
\end{align}
�Ȥʤ롥������濴��$r=0$�Ȥ��ơ�����������ȳ����Ǥ������ʬ���뤳�Ȥ�ͤ��롥
����������ϱ����ɸ�Ϥ�r������ʬ$B_r$�ΤߤǤ��롥���äơ���ʬ�ϡ�
\begin{equation}
 2\pi rB_r=
\begin{cases}
  \mu_0\pi r^2\cfrac{I}{\pi a^2}=\mu I\cfrac{r^2}{a^2} & 0\leq r\leq a\text{�ξ��}\\
 \mu_0 I & a \leq r\text{�ξ��}
\end{cases}
\end{equation}
�Ȥʤ롥���줫�顤��«̩�٤ϡ�
\begin{equation}
 B_r=
  \begin{cases}
   \cfrac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} & 0\leq r\leq a\text{�ξ��}\\
   \cfrac{\mu_0 I}{2\pi r} & a \leq r\text{�ξ��}
  \end{cases}
\end{equation}
�ȵ����롥

\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �ޤ�ľ����ή$I$��AB����ʬ�����ޤ�P���ˤĤ��뼧«̩�٤�
 \begin{align*}
  B(P)=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\left[\cos\theta_1-\cos\theta_2\right]
 \end{align*}
 ��Ϳ�����뤳�Ȥ򼨤���
 \begin{figure}[H]
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
   {figure/Current.eps}
  \end{center}
 \end{figure}
\end{itembox}

��O����ľ����ή�˱�ä���ɸ��$x$�Ȥ��롥A�����������B�����������Ȥ��롥���ΤȤ�
����������ϡ��ӥ������С����ˡ§���
\begin{align*}
 \diff\vm{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\frac{\diff x\times\vm{r}}{r}
\end{align*}
�Ȥʤ롥�����ǡ�P���Ǥμ���ϻ��̤ȿ�ľ�����Ǥ��ꡤ$|\diff
x\times\vm{r}/r|=\sin\theta \diff x$�Ȥʤ롥x�ΰ��֤ˤ�餺�����������Ʊ���ʤ�
�ǡ�$\diff B$�ȥ����顼�ǽ񤤤Ƥ��ɤ�����������������ϡ�
\begin{align*}
 \diff B=\frac{\mu_0 I\sin\theta\diff x}{4\pi r^2}
\end{align*}
�Ȥʤ롥�������ʬ����Ф褤�Τ��������Τ���ˡ�
\begin{align*}
 &\tan\theta=-\frac{R}{x}& &r\sin\theta=R&
\end{align*}
��Ĥ���������餫�顤
\begin{align*}
 &\diff x=\frac{R}{\sin^2\theta}\diff\theta&
 &r=\frac{R}{\sin\theta}&
\end{align*}
������Ȥ��ȡ�
\begin{align*}
 \diff B=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\theta\diff\theta
\end{align*}
�ȤʤꡤA����B�ޤ���ʬ��Ԥ��ȡ�
\begin{align*}
 B
 &=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\mu_0I}{4\pi R}\sin\theta\diff\theta\\
 &=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\left[\cos\theta_1-\cos\theta_2\right]
\end{align*}
�Ȥʤ롥

\vspace{20mm}
%=====================================================================
\section{����������}
%=====================================================================
\setcounter{toi_num}{1}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ̵�¤�Ĺ��ľ����ή$I_1$��Ʊ��ʿ����ˡ��ޤΤ褦��Ĺ�����β�ϩ�����ꡢ�����˶���
 $I_2$����ή��ή����������Ĺ�����β�ϩ�˺��Ѥ����Ϥ���衣
 \begin{figure}[H]
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
   {figure/force_current.eps}
  \end{center}
 \end{figure}
\end{itembox}

�����Ϥ��ʤ�����Ĺ�����β�ϩ����뼧��Ǥ�Ĺ�����η���ϩ�˺��Ѥ����Ϥ��礭���ι�
�פϡ������Ǥ��롥�⤷�����Ǥʤ��ȡ���ʬ���Ȥ���ή�Ǳʵפ��Ϥ�����뤳�Ȥˤʤꡤ
�ʵ׵��ؤ�����Ƥ��ޤ��������̷��Ǥ��롥

Ĺ�����β�ϩ��Ʊ��ʿ�̤ǡ����̤˿�ľ�����ǻ��̤�������˸�����������z������
B$\leftarrow$C��x������B$\leftarrow$A��y�����Ȥ��롥ľ����ή�μ���y���Ȥ���x����
������ľ����ή��ˤ���Ȥ��롥Ĺ������ϩ��$x$�Ǥ�ľ����ή����륳��
���Ʊ��ʿ�̾�μ���ϡ�z������ʬ$B_z$�Τߤǡ����ζ����ϥ���ڡ����ˡ§���顤
\begin{align*}
 B_z=-\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x}
\end{align*}
�Ȥʤ롥

�������ή�����ή�ϡ�x�����y�����Ǥ��롥B$\rightarrow$C��x������
B$\rightarrow$A��y�����Ȥ��롥������󡤱���Ϥ���Ѥ���Τǡ��Ǥ��롥

������ή$\vm{I}\diff\ell$������$\vm{B}$���������Ϥϡ����������Ϥ��顤
\begin{align*}
 \diff\vm{F}=\vm{I}\diff\ell\times\vm{B}
\end{align*}
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\diff\ell=a\diff\theta$�Ǥ��롥�����z�����ΤߤʤΤǡ�Ĺ������
Ĺ������ϩ�˺��Ѥ���y�������Ϥϡ�x�����������AD�ȡ�CB��ή�����ή�ˤ�����������
���¤�
\begin{align*}
 F_y&=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi}\int_\ell^{\ell+b}\frac{I_2}{x}\diff x-
\frac{\mu_0 I_1}{2\pi}\int_\ell^{\ell+b}\frac{I_2}{x}\diff x\\
&=0
\end{align*}
�Ȥʤ롥AD�ȡ�CB��ή�����ή�ˤ��y�������Ϥϥ���󥻥뤵���ΤǤ��롥���ˡ�BA
��CD��y��������ή�ˤ��x�������Ϥ�׻����롥����ϡ�
\begin{align*}
 F_x&=-\int_0^a I_2\frac{\mu_0 I_1}{2\pi\ell}\diff y+
 \int_0^a I_2\frac{\mu_0 I_1}{2\pi(\ell+b)}\diff y\\
 &=\frac{\mu_0 I_1 I_2 a}{2\pi}\left(\frac{1}{\ell+b}-\frac{1}{\ell}\right)\\
 &=-\frac{\mu_0 I_1 I_2 ab}{2\pi\ell(\ell+b)}
\end{align*}
�Ȥʤ롥
\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ̵�¤�Ĺ��ľ����ή$I_1$�ȡ�Ⱦ��$a$�α߷���ϩ��Ʊ��ʿ�̤ˤ�����Ƥ��ơ����αߤ�
 �濴����ľ����ή�ޤǤε�Υ��$d(\ge a)$�Ǥ��ꡢ�߷���ϩ�����ή�ζ�����$I_2$�Ǥ�
 ��Ȥ��롣���ΤȤ��߷���ϩ�˺��Ѥ����Ϥ���衣
\end{itembox}

���ޤΤ褦�˺�ɸ�Ϥ���롥
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
  {figure/line_cir_current.eps}
 \end{center}
\end{figure}
%
�����Ϥ��ʤ������߷���ϩ����뼧��Ǥ��α߷���ϩ�˺��Ѥ����Ϥ��礭���ι�פϡ���
���Ǥ��롥�⤷�����Ǥʤ��ȡ���ʬ���Ȥ���ή�Ǳʵפ��Ϥ�����뤳�Ȥˤʤꡤ�ʵ׵���
������Ƥ��ޤ��������̷��Ǥ��롥

�߷���ϩ���Ǥ�դ���P�ΰ��֤Ǥ�ľ����ή����뼧��ϡ�z������ʬ$B_z$�Τߤǡ�����
�����ϥ���ڡ����ˡ§���顤
\begin{align*}
 B_z=-\frac{\mu_0 I_1}{2\pi(d+a\cos\theta)}
\end{align*}
�Ȥʤ롥P���Ǥα߷���ϩ����ή��x��ʬ��y��ʬ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ������줾��
\begin{align*}
 &I_x=-I_2\sin\theta& &I_y=I_2\cos\theta& \nonumber
\end{align*}
�Ȥʤ롥

������ή$\vm{I}\diff\ell$������$\vm{B}$���������Ϥϡ����������Ϥ��顤
\begin{align*}
 \diff\vm{F}=\vm{I}\diff\ell\times\vm{B}
\end{align*}
�Ȥʤ롥�����ǡ�$\diff\ell=a\diff\theta$�Ǥ��롥�������äơ���ۤɵ�᤿�������ή�ˤ���Ϥϡ�
\begin{align*}
 &\diff F_x
 =-I_x B_z a\diff\theta
 =-\frac{\mu_0 I_1I_2\sin\theta}{2\pi(d+a\cos\theta)}a\diff\theta&
 &\diff F_y
 =I_yB_z\diff\theta
 =\frac{\mu_0 I_1I_2\cos\theta}{2\pi(d+a\cos\theta)}a\diff\theta&
\end{align*}
�Ȥʤ롥�����$[-\pi,\pi]$���ϰϤ���ʬ����С��߷���ϩ�˺��Ѥ����Ϥ�ʬ���롥$F_x$
���������ʬ�ؿ��ϴ�ؿ��ʤΤǡ������ϰϤ���ʬ�ϥ����ˤʤ롥������$F_y$����
������ʬ�ؿ��϶��ؿ��ʤΤǡ���ʬ�ϰϤ�Ⱦʬ�ˤ��ơ������2�ܤ��Ƥ��ɤ����߷���ϩ
��y�����˺��Ѥ����Ϥϡ�
\begin{align*}
 F_y
 &=2\int_0^{\pi}\frac{\mu_0 I_1I_2a\cos\theta}{2\pi(d+a\cos\theta)}
 \diff\theta\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{a\cos\theta}{d+a\cos\theta}
 \diff\theta\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\int_0^{\pi}\left[1-\frac{d}{d+a\cos\theta}
 \right] \diff\theta\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\left[\pi-\int_0^{\pi}\frac{d}{d+a\cos\theta}
 \diff\theta\right]\\
 &\qquad\text{�����ǡ�}\tan\frac{\theta}{2}=t\text{���ѿ��Ѵ�����}\\
 &\qquad\text{����ȡ�}\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},
 \quad\diff\theta=\frac{2\diff t}{1+t^2}\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\left[\pi-
 \int_0^{\infty}\frac{d}{d+a\frac{1-t^2}{1+t^2}}\times\frac{2}{1+t^2}\diff t
 \right]\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\left[\pi-
 \frac{2d}{d-a}\int_0^{\infty}\frac{1}{\frac{d+a}{d-a}+t^2}\diff t
 \right]\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\left\{
 \pi-\frac{2d}{d-a}\left[
 \sqrt{\frac{d-a}{d+a}}\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{d+a}{d-a}}t\right)
 \right]_0^{\infty}
 \right\}\\
 &=\frac{\mu_0 I_1I_2}{\pi}\left[
 \pi-\frac{\pi d}{\sqrt{d^2-a^2}}
 \right]\\
&=\mu_0 I_1I_2\left[1-\frac{d}{\sqrt{d^2-a^2}}\right]\\
\end{align*}
�Ȥʤ롥

\vspace{20mm}
%=====================================================================
\section{�ż�ͶƳ}
%=====================================================================
\setcounter{toi_num}{1}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �ޤΤ褦�˼��Фδ֤�����$S=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}^2$�ǡ���$R=10\Omega$��Ĺ
 ��������������֤��ơ������濴���Τޤ����®��
 $\omega=3\times10^3\mathrm{s}^{-1}$�ǲ�ž�����롣���ΤȤ������������ȯ��������
 ή�ζ����κ����ͤϤ����餫���ʤ������Фκ�뼧«̩�٤ζ�����$B=0.5\mathrm{T}$��
 ���롣�ޤ������������ͶƳ��ή�ΤĤ��뼧��ˤ����̤�̵�뤷�Ƥ褤��
 \begin{figure}[H]
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
   {figure/dBdt.eps}
  \end{center}
 \end{figure}
\end{itembox}
\vspace{5mm}

�������Ӥ���«$\phi$�ϡ�
\begin{align*}
 \phi
 &=\int_S B\diff S\sin(\omega t+\theta_0)\\
 &=BS\sin(\omega t+\theta_0)
\end{align*}
�Ƚ񤱤롣������1����ȯ�������Ű�$V$�ϡ�
\begin{align*}
 V
 &=\oint\vm{E}\diff \vm{\ell}\\
 &=\int_S\rot{\vm{E}}\cdot\vm{n}\diff S\\
 &=\int_S\left(-\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\right)\\
 &=-\frac{\diff}{\diff t}\int_S \phi\diff S\\
 &=-\frac{\diff\phi}{\diff t}
\end{align*}
�Ȥʤ롣�ե�å���$\phi$�ϡ��ǽ�˼���������Ȥ�������ȡ�
\begin{align*}
 V=-\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)
\end{align*}
���Ű�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣��ή�ϥ������ˡ§$V=IR$���
\begin{align*}
 I
 &=\frac{V}{R}\\
 &=-\frac{\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)}{R}
\end{align*}
�Ȥʤ롣��ή�κ����ͤϡ�$\omega BS/R$�Ȥʤꡢ���줾���ͤ���������ȡ�
1.5[A]�ˤʤ롣

\vspace{20mm}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �ޤΤ褦������$\ell$���񹳤�̵��Ǥ���Ƴ���˼���$m$��$R$��Ƴ��a,b ���ʿ�ˤ�
 �����Ĳ�ϩ��Ĥ��롣�����Ĳ�ϩ�˿�ľ�˰��ͤ��ż���$\vm{B}$�򤫤��ơ�Ƴ��ab��
 ͳ��������Ȥ������ν�®�٤���衣�ʤ������ΤȤ�Ƴ���֤��໤�Ϥ��Ĳ�ϩ���
 ͶƳ��ή�ΤĤ��뼧���̵��Ǥ����ΤȤ��롣
 \begin{figure}[H]
  \begin{center}
   \includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]
   {figure/jiyurakka.eps}
  \end{center}
 \end{figure}
\end{itembox}

Ƴ��a,b�����־�ˤ���Ȥ�$x=0$�Ȥ����ɸ�����ӡ����˸������Ȥ��줬���ä���褦��
���롥����Ȳ�ϩ���Ϥ�����$S$�ϡ�$x\ell$�Ȥʤ롥������Ӥ����ե�å�����
$\phi=x\ell B$
�Ȥʤ롥�񹳤ϡ�Ƴ��a,b�ΤߤʤΤǡ����δ֤��Ű��ϡ�
\begin{align*}
 V
 &=-\frac{\diff\phi}{\diff t}\\
 &=-\ell Bv
\end{align*}
�Ǥ��롥���줫�顤��ϩ��ή�����ή��
\begin{align}
 I=-\frac{\ell Bv}{R}
\end{align}
�Ȥʤ롥

������ή��ή��뤳�Ȥˤ�ꡤ���������Ϥ�ȯ�����뤳�Ȥˤʤ롥���������Ϥϡ�
$qvB$�Ȥʤ뤬���Ų�̩��$\rho$��Ƴ����������$S$��Ĺ��$\ell$��ͤ����
\begin{align*}
 F
 &=qvB\\
 &=\int \rho vB\diff V\\
 &=\rho vBS\ell\\
 &\qquad\text{$\rho vS=I$�ʤΤ�}\\
 &=IB\ell
\end{align*}
�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��롥��®�٤�ã������硤���Υ��������ϤȽ��Ϥˤ���Ϥ����礦
�Τǡ�$mg+Iv\ell=0$�Ȥʤ롥��ή��ʬ���äƤ���Τǡ���®�٤ϡ�
\begin{align*}
 v=\frac{Rmg}{B^2\ell^2}
\end{align*}
�Ȥʤ롥
%
%=====================================================================
\section{�ޥ����������������}
%=====================================================================
\setcounter{toi_num}{1}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ��ʬ���Υޥ�����������������򼨤���
\end{itembox}
\vspace{5mm}

��ʬ���Υޥ�����������������ϡ��ʲ����̤�Ǥ��롣
\begin{align*}
 &\div{\vm{D}}=\rho\\
 &\div{\vm{B}}=0\\
 &\rot{\vm{E}}=-\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\\
 &\rot{\vm{H}}=\vm{j}+\pdiff{1}{\vm{D}}{t}
\end{align*}

%
\vspace{20mm}
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 �������������ȥ��ȡ�������������Ȥäơ���ʬ���Υޥ��������������������ʬ���˽񤭲���衣
\end{itembox}
%

\vspace{5mm}
��ʬ���Υޥ�����������������ϡ�
\begin{align*}
 &\div{\vm{D}}=\rho\\
 &\div{\vm{B}}=0\\
 &\rot{\vm{E}}=-\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\\
 &\rot{\vm{H}}=\vm{j}+\pdiff{1}{\vm{D}}{t}
\end{align*}
�Ǥ��롣�����μ���
\begin{align*}
 &\int_V\div{\vm{A}}\diff V=\int_S\vm{A}\cdot\vm{n}\diff S& &������������&\\
 &\int_S\rot{\vm{A}}\diff S=\oint\vm{A}\cdot\diff \ell& &���ȡ�����������&\\
\end{align*}
��Ȥäơ���ʬ���˽�ľ����

�ޥ������������������1���ܤμ���ξ�դ�������ʬ��Ԥ�����������������Ȥ���
\begin{align*}
 &\int_V\div{\vm{D}}\diff V=\int_V\rho\diff V& &\text{������������}\Rightarrow& &\int_S\vm{D}\cdot\vm{n}\diff S=\int_V\rho\diff V&
\end{align*}
�Ȥʤꡢ��ʬ���Υ�������ˡ§�������롣

Ʊ�����Ȥ�ޥ������������������2���ܤμ��˻ܤ���
\begin{align*}
 &\int_V\div{\vm{B}}\diff V=0& &\text{������������}\Rightarrow& &\int_S\vm{B}\cdot\vm{n}\diff S=0&
\end{align*}
�������롣���줬����˴ؤ�����ʬ���Υ�������ˡ§�Ǥ��롣

���ˡ��ޥ���������������������ܤμ���������ʬ��Ԥ������ȡ�������������Ȥ���
\begin{align*}
 &\int_S\rot{\vm{E}}\diff S=\int_S\left(-\pdiff{1}{\vm{B}}{t}\right)\diff S&
 &\text{���ȡ�����������}\Rightarrow&
 &\int_C\vm{E}\cdot\diff\vm{\ell}=
 -\frac{\diff}{\diff t}\int_S\vm{B}\cdot\vm{n}\diff S&
\end{align*}
�������롣����ϡ���ʬ����ɽ�����ե���ǡ����ż�ͶƳ��ˡ§�Ǥ��롣

�Ǹ�ϡ��ޥ������������������4���ܤμ���Ʊ���褦�˥��ȡ���������������Ѥ����
\begin{align*}
 &\int_S\rot{\vm{H}}\diff S=\int_S\left(\vm{j}+\pdiff{1}{\vm{D}}{t}\right)\diff S&
 &\text{���ȡ�����������}\Rightarrow&
 &\int_C\vm{H}\cdot\diff\vm{\ell}=
 \int_S\vm{j}\cdot\vm{n}\diff S+
 \frac{\diff}{\diff t}\int_S\vm{D}\cdot\vm{n}\diff S&
\end{align*}
�������롣����ϡ���ʬ���Υ���ڡ���-�ޥ����������ˡ§�Ǥ��롣
%=====================================================================
\section{��ư������}
%=====================================================================
\setcounter{toi_num}{1}
%
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ��ͳ������Υޥ�����������������򼨤���
\end{itembox}
\vspace{5mm}

��ͳ���֤Ǥϡ���ή���Ų٤Ϥʤ����������äơ��ޥ��������������������ǡ�$\rho=0$��
$\vm{j}=0$�Ȥ���Ф褤������ȡ���ͳ���֤Ǥ��ż����ɽ���ޥ����������������
%
\begin{align*}
 &\div{\vm{E}}=0 \\
 &\div{\vm{B}}=0 \\
 &\rot{\vm{E}}+\pdiff{1}{\vm{B}}{t}=0 \\
 &\rot{\vm{B}}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{1}{\vm{E}}{t}=0 
\end{align*}
�������롣
%

\vspace{20mm}
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
\begin{itembox}[l]{\toi}
 ��ͳ������Υޥ�������������������顢�ʲ�����ư��������Ƴ����
 \begin{align*}
  &\nabla^2\vm{E}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{E}}{t}=0\\
  &\nabla^2\vm{B}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{B}}{t}=0
 \end{align*}
\end{itembox}

\vspace{5mm}
��ͳ���֤Ǥϡ���ή���Ų٤Ϥʤ����������äơ��ޥ������������������
%
\begin{align*}
 &\div{\vm{E}}=0 \\
 &\div{\vm{B}}=0 \\
 &\rot{\vm{E}}+\pdiff{1}{\vm{B}}{t}=0 \\
 &\rot{\vm{B}}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{1}{\vm{E}}{t}=0 
\end{align*}
�Ȥʤ롣

���μ��Τ���3���ܤΤ�Τ�ξ�դ˲�ž�α黻�Ҥ���Ѥ�����ȡ�
\begin{align}
 0&=\rot{\rot{\vm{E}}}+\pdiff{1}{}{t}(\rot{\vm{B}})\nonumber \\
 &\qquad\qquad\text{�ޥ������������������4���ܤμ�)���}\nonumber \\
 &=\rot{\rot{\vm{E}}}+\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{E}}{t}
\end{align}
�Ȥʤꡢ�ž�Τߤμ��ˤǤ��롣�����ǡ���������Ǥ��뤬������ϥ٥��ȥ빱����
$\rot{\rot{\vm{A}}}=\grad{(\div{\vm{A}})}-\nabla^2\vm{A}$��Ȥ���
\begin{align*}
 0&=\grad{(\div{\vm{E}})}-\nabla^2\vm{E}
 +\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{E}}{t} \\
 &\qquad\qquad\text{�ޥ������������������1���ܤμ����} \\
 &=-\nabla^2\vm{E}+\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{E}}{t}
\end{align*}
���ѷ��Ǥ��롣����ǡ��ž�Τߤμ��Ȥʤä���

Ʊ�ͤΤ��Ȥ򼧾�ˤĤ��ƹԤ����ޥ������������������4���ܤμ���ξ�դβ�ž�α黻
�Ҥ���Ѥ������
\begin{align*}
 0&=\rot{\rot{\vm{B}}}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{1}{}{t}(\rot{\vm{E}}) \\
 &\qquad\qquad\rot{\rot{\vm{A}}}=\grad{(\div{\vm{A}})}-\nabla^2\vm{A}
 \text{�ȥޥ������������������3���ܤμ����}\\
 &=\grad{(\div{\vm{B}})}-\nabla^2\vm{B}
 +\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{B}}{t}\\
 &\qquad\qquad\text{�ޥ������������������2���ܤμ����}\\
 &=-\nabla^2\vm{B}+\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{B}}{t}\\
\end{align*}
�������롣

�ʾ�����ˤ������줿�ž�ȼ���μ�����������ȡ�
\begin{align*}
 \nabla^2\vm{E}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{E}}{t}=0\\
 \nabla^2\vm{B}-\varepsilon_0\mu_0\pdiff{2}{\vm{B}}{t}=0
\end{align*}
�������롣
%
%
%
%=====================================================================
\end{document}


