平均を計算する前に，次の密度分布関数を考えます． \begin{align} g(x,\,y)=\cfrac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\lbrace -\cfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \left(\cfrac{x}{\sigma_x}\right)^2 -2\rho \left(\cfrac{x}{\sigma_x}\right) \left(\cfrac{y}{\sigma_y}\right) +\left(\cfrac{y}{\sigma_y}\right)^2 \right]\right\rbrace \label{eq:2D_nomal_dist_av0} \end{align} もちろん， \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,\,y)dxdy=1 \end{align} です．
先に述べたように，確率密度関数の等高線は楕円です．\(g(x,\,y)\)の楕円の中心は原点 (0, 0) です．したがって，計算するまでもなく， \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xg(x,\,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yg(x,\,y)dxdy=0\label{eq:2D_int_xg_dx_eq_0} \end{align} です．これらの結果を利用すると，\(x\) の平均は， \begin{align} \cfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,\,y)dxdy} {\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,\,y)dxdy} &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,\,y)dxdy\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xg(x-\mu_x,\,y-\mu_y)dxdy \nonumber \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+\mu_x)g(x,\,y)dxdy \nonumber \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xg(x,\,y)dxdy+ \mu_x\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,\,y)dxdy \nonumber \\ &=0+\mu_x \nonumber \\ &=\mu_x \nonumber \end{align} となります．\(y\) の平均も同様に計算可能です．