2 複数の固有値の求め方

前章の方法では最小の固有値しか求められないが，少し工夫するといくつかの固 有値を求められるようになる． これには，実対称一般化固有値問題の特性を利用する． すなわち，固有値問題の固有ベクトル $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots ,\boldsymbol{x}_n$ において，

$$(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_j) = 0 (\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_j) = 0$$

$$( i \neq j )$$

という性質である．つまり，固有ベクトルは行列 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$をはさんで直 交していると言える． 従って，いくつか小さい順から固有値が分かっていれば，それらと直交するベク トルをさがすことで次の固有値が得られる．

ベクトル $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$の直交化は次の式で与えられる．

$$\tilde{\boldsymbol{a}} = \boldsymbol{a} - \frac{(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b})} \boldsymbol{b}$$ (10)

$\tilde{\boldsymbol{a}}$が $\boldsymbol{a}$から $\boldsymbol{b}$の成分を抜き出したものである． このように，必要ない成分を抜き出すことができる．

いま，すでに小さい方から固有値がいくつか求められていて，その固有ベクトル が $\boldsymbol{x}_1, \cdots , \boldsymbol{x}_k$だとする． ここから，次に小さい固有値を求めようとする．この求めるべき固有ベクトルは， $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_1, \cdots , \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_k , \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_1, \cdots , \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_k$ と直交していることが分かる．従って，これらの成分を抜き出しながら共役勾配 法で固有値を求めていけばよい．

その手順を以下に示す．

1. $\boldsymbol{x}_0$をランダム関数などを使い，適当に決める．
2. $\boldsymbol{x}_0$を直交化
3. $\boldsymbol{g}_0$をもとめ，それを直交化
4. $\boldsymbol{p}_0 = -\boldsymbol{g}_0$とする．
5. $\boldsymbol{p}_0$を直交化
6. $i=0$
7. $\boldsymbol{x}_{i+1} = \boldsymbol{x}_i + \alpha_{i} \boldsymbol{p}_i$
8. $\boldsymbol{x}_{i+1}$を直交化
9. $\boldsymbol{g}_{i+1}$をもとめ，それを直交化
10. $\boldsymbol{p}_ {i+1}= -\boldsymbol{g}_{i+1} + \beta _{i} \boldsymbol{p}_{i}$
11. $\boldsymbol{p}_{i+1}$を直交化
12. 収束判定をして，収束が十分でなければ$i=i+1$として，７に戻る．

ここで，`` $\boldsymbol{x}$を直交化''という表記は，

$$\boldsymbol{x} \leftarrow \boldsymbol{x} - \frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{Ax}_1)}{(\bol... ..., \boldsymbol{Bx}_1)}{(\boldsymbol{Bx}_1, \boldsymbol{Bx}_1)} \boldsymbol{Bx}_1$$

$$\vdots$$

$$\boldsymbol{x} \leftarrow \boldsymbol{x} - \frac{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{Ax}_k)}{(\bol... ..., \boldsymbol{Bx}_k)}{(\boldsymbol{Bx}_k, \boldsymbol{Bx}_k)} \boldsymbol{Bx}_k$$

という操作を表す．（ $\boldsymbol{x}_1, \cdots , \boldsymbol{x}_k$はすでに求められている固 有ベクトル）

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 夏井拓也