Yamamoto's Laboratory
電子計算機
  目次
 
  第1回
  第2回
  第3回
  第4回
  第5回
  第6回
  第7回
  第8回
 
 
講義ノート 2003年度 電子計算機 (論理回路) ビットと情報

電子計算機ビットと情報

情報量を表すビットについて学習します．

目次

本日の授業のテーマ

本日の授業のテーマは，以下のとおりです．

  • ビットと情報
    • 情報の単位であるビットとは何かを説明
    • いろいろな情報がビットであらわせることを説明

本日の授業のゴールは、以下のとおり。

  • ビットという単位で情報の量を表すことが理解できる。
  • 情報の量の計算ができる。

ビットと情報

情報とは何だろう

国語辞典(大辞林)によると

  1. 事物・出来事などの内容・様子。また、その知らせ。
  2. ある特定の目的について、適切な判断を下したり、行動の意志決定をするために役立つ資料や知識。
  3. 機械系や生体系に与えられる指令や信号。例えば、遺伝情報など。
  4. 物質・エネルギーとともに、現代社会を構成する要素の一。

英語では information．

IT: information technology

抽象的で良くわからない。そこで、実際に計算してみよう。

ビットと情報

ここにコインが1枚あります。これは、裏か表かのどちらかの状態を取ります。この裏かか表か、どちらかを表した場合、情報となります。この2つの状態の1つを表すことができる情報量1ビットと言います。したがって、1bitは2つの状態のどちらかを表すことが出来ます。

bitは情報の単位です。これ以上分割は出来ません。原子みたいなものです。0.5 bitは、ありません。ただし、0bitはあります。これは、情報がない状態です。

教科書に書いてある、2つのうち1つの状態を取るもの、すなわち、1bitを表すことが出できるものは、

  1. 電流が流れているか、いないか
    • コンピューターの中では、電圧が0か5V
  2. 磁化の方向がNかSか (磁化されているか、いないか)
    • フロッピーディスクやハードディスク
  3. 電荷がたまっているか、いないか
    • コンピューターのメモリー
  4. 受光できたか否か
    • 光通信、CD

です。これら、すべて情報を表すために、使われています。まだまだ、いろいろ情報を表すものは有りますが、ここまでにしておきます。

では、次にここに2つのコイン(異なるコインを使うこと)があります。このコイン2つで何個の状態を表すことが出来るでしょうか? わかる人、手を上げてください。

手を上げる人が、いなかった場合、

  • 1通りだと思う人
  • 2通りだと思う人
  •     •
  •     •
  •     •
  • 9通りだと思う人
  • 10通りだと思う人

理由を聞きたいですが、時間もないので、実際に試して見ましょう。

表のキャプション
10円玉 500円玉
1通り目 裏 裏
2通り目 裏 表
3通り目 表 裏
4通り目 表 表

そうです。ちょうど4通りの場合があります。ここでは、コインが2つ有ったので、2bitsです。2bitsでは4通りの状態を表すことが出来るのです。各々、10円玉と500円玉は2通りの状態があります。そして、それが2個あるためです。

2bitsの状態の数 = 2×2

簡単でしょう。それでは、

3bitsではどうでしょう。 8通りです。
4bitsではどうでしょう。 16通りです。
5bitsではどうでしょう。 32通りです。

これまでの経験から、ビットとそれが表す状態の数の関係がわかったと思います。それを式で書くと、どうなるでしょうか? \begin{align} \text{N bit で表せる状態の数}&=2\times 2\times 2\times\cdots\times 2 \nonumber\\ &=2^N \end{align} そうです。簡単でしょう。

情報を表すのにビットを用いる例

これまでの復習

1つコインの裏か表のように、2つの状態の可能性があって、そのうち1つの状態を表すのに1bit必要であることが理解できたと思います。コイン2枚の場合、4つの可能性があって、そのうちの1つの状態を表すためには、2bits必要です。

コイン3枚 8通りの可能性の場合 3bits
コイン4枚 16通りの可能性の場合 4bits
コイン5枚 32通りの可能性の場合 5bits

コイン1枚の裏表を表すのに1bit必要です。各々区別がつく、N枚のコインの場合、その裏/表を表すのには、N bit必要です。その、状態の数は、2N通りあります。

正8面体サイコロの例

通常の正6面体のサイコロでは、都合が悪いので、正8面体のサイコロを考えます。1~8の数字が書いてあるサイコロです(下の図)。

  • [Q] この8面体のサイコロの状態を示すのに、何ビット必要でしょうか?

  • [A] そうです。3bit必要です。
    • 一つの8面体サイコロは、8通りの状態があります。したがって、23=8で、3ビット必要になります。
  • [Q]このサイコロを100回振ります。それを記録するのに、何ビット必要ですか?
  • [A] そうです。300bit必要です。
    • 3bitが100個必要なので、300bit必要です。

図1: 正八面体

余談正多面体は、プラトン(BC 427 — 347)が研究したことから、プラトンの立体と呼ばれることがあります。正多面体は5種類(4, 6, 8, 12, 20)しかなく、そのことはピタゴラス(BC 580頃~BC 500頃)らによって証明されたらしい。

その頃、日本は縄文時代で、漁や狩の暮らしです。これほど昔に、ギリシャでは高度な数学が発展していたことには驚きです。

皆さんの体重を記録するためには

次にここのクラス全員の体重を記録するために、必要なビット数を考えましょう。一人の人が取りうる体重の状態の数は、無限にあります。なぜならば、体重は連続量だからです。そこで、1kg単位で体重を考えることにしましょう。小数点の一桁目を四捨五入しましょう。

(例)  63.141592654… → 63 kg

ビット数と場合わけの数は、

ビット数 場合数
5 32
6 64
7 128
8 256

となります。

7ビット有れば、一人の体重を1kg単位で表すことが出来ることがわかるでしょう。

  • [Q] クラス40人とすると、全員を記録するためには、何ビット必要でしょうか?
  • [A] そうです。280bit必要です。
    • 7bitが40人分必要なので、280bit必要です。

この記録表には、最大0.5kgの誤差があります。これを量子化誤差といいます。体重のような連続量であるアナログデータをビットで表すデジタルデータに変換した場合、少なからず誤差があります。量子化誤差とはこの誤差のことです。

音楽用CD

次に例は、音楽用CDです。みなさんも知っての通り、音楽用CDはデジタルデータが記録されています。

音楽用CDの記録方法は、

  • 44.1kHzサンプリング
  • 16 bits分解能
  • 左右スピーカー独立のステレオ録音

1時間の音楽の情報量は、

\begin{align} 16\times 44.1\times 10^3\times 2\times 3600=5.08\times 10^9\nonumber \end{align}

である。約50億ビットである。

ここで、補助単位として、以下を使う。

  • 8 bits = 1 byte (バイト) = 1B
  • 1 kB (キロバイト) = 210 byte = 1024 byte
  • 1 MB(メガバイト) = 210 kB = 220 byte = 1048576 byte
  • 1GB(ギガバイト) = 210 MB = 230 byte = 107374182 byte

すると、音楽用CD1枚の情報量は、

\begin{align} \frac{5.09\times 10^9}{8}=6.35\times 10^9 \text{byte} = 605 \text{MB}\nonumber \end{align}

となる。

図2: 音声波形

CD-R、1枚が700MB程度である理由がわかる。音楽用CDがまるまるコピーできる容量がある。605MBより、多く必要なのは、誤り補正の情報が加わっているからである。


no counter

last update:2018/05/08 22:40:41