1 進行波の取り扱い

先の練習問題、弦を三角形に張った後の様子は、定在波である。ここでは、進 行波の記述方法について、コメントしておく。進行波を数値計算すると面白い のでその方法を示す。進行波を記述するためには、初期条件さえ記述すれば、 後の差分方程式は同じである。その初期条件の記述の仕方を示す。

元の波動方程式

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$ (1)

には、明らかに、ダランベールの解

$$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$ (2)

というものがある。これは元の波動方程式に代入すれば、それを満足している ことは直ちに理解できる。ここで、$f(x-ct)$はx軸を正の方向に進む進行波 (forward wave)で、$g(x+ct)$は負の方向に進む後進波(backward wave)である。

初期条件

$$u(x,0)=\phi(x)$$ (3)

の波がx軸を正の方向に進む進行波として取り扱うには、どうしたらよいだろ うか?。のこる条件は、

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)$$ (4)

である。進行波になるように、$\psi(x)$を決めればよい。$u(x,t)$を進行波 と仮定すると、式(3)から

$$u(x,\Delta t)=\phi(x-c\Delta t)$$ (5)

となる。この式を使って、$\psi(x)$を求めることにする。$\psi(x)$の定義よ り、

$$\begin{aligned}\psi(x) &=\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)\\ &... ...-\phi(x-\Delta x)}{\Delta x}\\ &=-c\frac{d\phi}{dx} \end{aligned}$$

となる。進行波にするためには、$\psi(x)$は$\phi(x)$の導関数ににすればよいの である。

念のため言っておくが、後進波にするためには

$$\psi(x)=c\frac{d\phi}{dx}$$ (7)

とすればよい。
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著者: 山本昌志