2 問題

2.1 LCR回路

もっと実用的な常微分方程式を解くことにする。電気の諸問題の常微分方程式は 2階の場合が多い。例えば、図1のような回路で ある。最初、コンデンサーにある電荷が蓄えられていたとする²。そうして、ある瞬間(t=0)にスイッチSWをONにしたとする。 この場合、回路に流れる電流は時間とともにどのように変化するか?。数値計 算によりそれを求めることにする。

図 1: LCR直列回路

まず、この回路に流れる電流の微分方程式を導かなくてはならない。これを、エネルギー という観点から考えよう。コンデンサーとコイルに蓄えられたエネルギーの時間的な変化が抵抗で消費される電力になる。コンデンサーに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}CV^2$ で、コイルに蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}LI^2$である。一方、抵抗 で消費される電力は、$I^2R$である。これらの関係を式で表すと、

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI^2\right)+I^2R=0$$ (1)

となる。

この式では、電流$I$と電圧$V$が時間の関数となっている。これでは見通しが 悪いので、電圧の項をコンデンサーの式を用いて消去することを考える。コン デンサーに蓄えられる電荷を$q$とすると、$q=CV$という関係がある。これから、 $\frac{dq}{dt}=C\frac{dV}{dt}$が直ち に導かれる。ここで、電荷量の時間変化は電流となるので、 $\frac{dq}{dt}=I$となることに注意する。これらの関係式を用いて、式 (1)を書き直す。すると、

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI... ...c{dI}{dt}+I^2R=0\ &\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}+IR=0 \end{aligned}$$

の関係式を導くことができる。最後の式の両辺の時間で微分すると、

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dt}\left(\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}+IR... ... &L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0\ \end{aligned}$$

となる。これで、電流$I$のみ常微分方程式になる。これを解けばよいわけで ある。

2階の常微分方程式は、1階の連立常微分方程式に直すのがセオリーである。これは、

$$\left\{ \begin{aligned}I_0&=I\ I_1&=\frac{dI}{dt} \end{aligned} \right.$$

と変数変換を行う。すると、式(3)の最後の式 は、

$$\left\{ \begin{aligned}\frac{dI_0}{dt}&=I_1\ \frac{dI_1}{dt}&=-\frac{1}{L}\left(\frac{I_0}{C}+RI_1\right) \end{aligned} \right.$$

と書き直せる。

これを、4次のルンゲ・クッタ法で計算する場合、

$$\left\{ \begin{aligned}k_{01}&=hI_{1\_n}\ k_{11}&=h\frac{1}{L}... ...frac{1}{6}(k_{11}+2k_{12}+2k_{13}+k_{14})\ \end{aligned} \right.$$

となる。これを、数値計算により時間の刻み幅$h$毎に計算視すればよい。

これを解くためには、LとC、Rの値と初期条件が必要である。それぞれを以下 のようにする。

• インダクタンス$L$とキャパシタンス$C$は、1とする。
• スイッチSWをONにした瞬間(t=0)、インダクタンス$L$があるので電流は 流れない。$I(0)=0$となる。また、 $\left.\frac{dI}{dt}\right \vert _{t=0}=1$とする。 $\left.\frac{dI}{dt}\right \vert _{t=0}=1$になるような電荷が蓄えられているわけであ る。

このような状況のもと、以下の場合について計算せよ。

1. まずはじめに、$R=1$の場合について、電流の様子を計算せよ。
2. $R=0,1,2,3,4$の場合について、電流の様子を計算せよ。臨界減衰の 時、どうなるか?
3. 抵抗が電流に比例する場合$R=kI$、どうなるか計算せよ。 $k=0.1, 1, 10$の場合 を計算してみよう。このような場合、非線形な方程式になる。従って、通常は解析 解ないが、数値計算は可能である。コンピューターは、すばらしい結果を与えてく れる。

プログラムのヒントをあたえよう。$I_{0\_n}$と$I_{1\_n}$は、それぞれ I0[n]やI1[n]のような配列に格納する。そして、初期値は I0[0]=0とI1[0]=1で表せる。ついでに時刻も配列 time[n]を使う。当然、time[0]=0で、 time[n+1]=time[n]+hのように計算する。最終的な解は、 I0[n]とtime[n]の関係が重要になる。

このプログラムのソースコードは、プリントアウトして、レポートとして提出すること。

2.2 高階の微分方程式

配布したテキスト「常微分方程式の数値計算法」の「3.2 練習問題」を行うこと。結果は、 レポートとして提出すること。式の変形は、できるだけ丁寧に行い、説明や途中の計算を 省かないこと。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志