すでに学習したように、独立変数が二つ以上の多変数の関数の微分(偏微分)を含む微分方 程式を偏微分方程式(partial differential equation)といいます。それに対して、一変 数の関数の微分を含む方程式を常微分方程式(ordinary differential equation)といいま す。ここでは、常微分方程式、特に1 階の場合の解の近似値を求める方法を学習します。 学習する方程式は
ここでの主題は、この微分方程式を満たすを求めることです。計算を進める前にこ
の方程式が何を表すか考えましょう。式(1) の左辺は、解
の導関数です。即ち、解の曲線の接線を表します。導関数の値が座標
の関数になっ
ているわけです。座標
が決まれば、曲線の傾きが決まります。
それでは、この常微分微分方程式のイメージをつかんでもらいましょう。それには、実際 の微分方程式を考えるのが良いでしょう。例えば、
実際の解は、
![]() |
(3) |
式(2)の微分方程式から、関数の値を得るにはもう一つ条件が必
要です。通常この条件は、
のように与えられます。これを初期値といい、初
期値が与えられるものを初期値問題といいます。一方、2 点以上のxで定めるyの値が決まっ
ているような問題を境界値問題といいます。ここでは、もっぱら初期値問題を解くことに
します。
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(4) |
式(5)は、次の値は、もとの
にそこでの傾き
に
の増分
を乗じたものを加えた形になっています。即ち、図
3の通りです。この図からも分かるようにこの方法をそのまま
適用した場合(オイラー法)、あまり精度がよくありません。出発点のみの導関数を用いて
いるため、終点付近では傾きが異なっています。刻み巾
を小さくすることによ
り解決は出来ますがその分、計算時間が必要になります。そのため、
と
の
間で、出来るだけ精度よく、この導関数を計算する工夫がいろいろ考えられています。以
降、その方法を示します。