1 ベクトル解析の演習問題

1.1 ベクトルの演算

まずは、小手調べとして、次のベクトルの和 ( $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ )と差( $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ ) を計算せよ。ただし、和と差は2通りの方法、
- 成分同士の和を計算する方法。
- 図形により、ベクトルをつなぐ方法。
で計算すること。そして、これらが等しいことを確認せよ。

$\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=(1,2,0)\qquad\boldsymbol{B}=(3,1,0) \hspace{70mm}$

$\displaystyle %$ $\displaystyle (b)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=(1,1,0)\qquad\boldsymbol{B}=(4,1,0)$

$\displaystyle %$
$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ と $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ が与えられているとき、 $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ はどのようにすれば求められるか?
$\boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$ 、 $\boldsymbol{B}=(b_x,\,b_y,\,b_z)$ の時、 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$ と $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$ を示せ。
$\boldsymbol{A}=(1,\,2,\,3)$ 、 $\boldsymbol{B}=(4,\,5,\,6)$ のとき、内積 ( $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$ と外積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$ および ( $\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$ を計算せよ。
$\boldsymbol{A}=(1,\,0,\,0)$ 、 $\boldsymbol{B}=(0,\,1,\,0)$ のとき、内積 $(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$ と外積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$ および $(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$ を計算せよ。
$\boldsymbol{A}=(1,\,0,\,0)$ 、 $\boldsymbol{B}=(1,\,0,\,0)$ のとき、内積 $(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$ と外積 $(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$ および $(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A})$ を計算せよ。
位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ の各成分を示せ。

**図 1:** (1)の和
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/grid.eps}$

**図 2:** (1)の差
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/grid.eps}$

**図 3:** (2)の和
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/grid.eps}$

**図 4:** (2)の差
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/grid.eps}$

1.2 微分

スカラー場 $f(x,\,y,\,z)$ があるとき、その勾配 $\nabla f$ の各成分を示せ。
位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ の大きさの勾配を示せ。
$\boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$ の時、 $\nabla\cdot\boldsymbol{A}$ と $\nabla\times\boldsymbol{A}$ を示せ。
以下を確認せよ。

$\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \nabla (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$

$\displaystyle (b)$ $\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$

$\displaystyle (c)$ $\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$

$\displaystyle (d)$ $\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{r}=0$

$\displaystyle (e)$ $\displaystyle \nabla\times (r^n\boldsymbol{r})=0$

$\displaystyle (f)$ $\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %$
次のベクトル場は、図5～ 10のどれに対応するか分かるか?。ただし、分かりやすくするために、ベクトルの大きさはスケールされている。

$\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$

$\displaystyle %$ $\displaystyle (b)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$

$\displaystyle (c)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$

$\displaystyle (d)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$

$\displaystyle (e)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$

$\displaystyle (f)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %$
図5～10のうち、 $\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0$ あるは $\nabla\times\boldsymbol{A}=0$ のものはどれか?。まずは、計算をしないで考えよ。その後、計算を行い確認せよ。

**図 5:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig1.eps}$

**図 6:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig2.eps}$

**図 7:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig3.eps}$

**図 8:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig4.eps}$

**図 9:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig5.eps}$

**図 10:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig6.eps}$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成16年9月28日

	$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \boldsymbol{A}=(1,2,0)\qquad\boldsymbol{B}=(3,1,0) \hspace{70mm}$
$\displaystyle %$	$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=(1,1,0)\qquad\boldsymbol{B}=(4,1,0)$
$\displaystyle %$

$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \nabla (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$
$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$
$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$
$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{r}=0$
$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \nabla\times (r^n\boldsymbol{r})=0$
$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %$

	$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$
$\displaystyle %$	$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$
	$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$
	$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %$