2 電位のポアソン方程式とラプラス方程式

電場 $\boldsymbol{E}$は、発散を表す式(18)と回転を示す式 (23)の微分方程式を解けば計算できるが、大変で ある。一般にベクトルの方程式を計算するのは大変である。一方、スカラー 場$\phi$を計算し、その勾配から電場を計算するのは比較的簡単である。

それでは、スカラー場が満たす方程式を考えよう。スカラー場の勾配が電場、 $\boldsymbol{E}=-\nabla\phi$となる。また、電場の発散が電荷密度、 $\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon$である。したがって、

$$\nabla\cdot\left(-\nabla\phi\right)=\frac{\rho}{\varepsilon}$$ (28)

となり、スカラーポテンシャルは

$$\nabla^2\phi(\boldsymbol{r})=-\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\varepsilon}$$ (29)

となる。この式を「ポアソン方程式」と言う。また、領域に電荷がない場合、

$$\nabla^2\phi=0$$ (30)

となり、この式を「ラプラス方程式」と言う。静電場の場合、一般的にはポア ソン方程式で、電荷が無い特別な場合「ラプラス方程式」となる。

ポアソン方程式(29)は、スカラーの方程式なので解 きやすい。解きやすいといっても、これを直接計算するのは、そんなに易しい ことではない²。そこで、 直感的にこの微分方程式の解を求めることにする。式(26)か ら、

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著者: 山本昌志