3 基数の変換

3.1 2進数と10進数の変換

3.1.1 2進数 $\rightarrow$ 10進数

2進数から10進数への変換は簡単である。式(1)を理解していれば、分かる。2進数であろうが10進数であろうが、表記法は同じで、約束に従って変形すれば良い。次のようにする。

$\displaystyle (10011)_2$	$\displaystyle =(1\times 10^{100}+0\times 10^{11}+0\times 10^{10}+1\times 10^1 +1\times 10^0)_2$
	$\displaystyle =(1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)_{10}$
	$\displaystyle =(16+0+0+2+1)_{10}$
	$\displaystyle =(19)_{10}$	(2)

この手中を順を追って説明すると、以下のようになる。

まずは、1行目右辺のように位取り記数法で表現する。
そうして、表1に従い、式を変換したい基数に直す。
後は地道に計算するだけ。

通常は、1行目の右辺は省き、2行目から計算する。

2進数の各桁の10進数での値(重み)を覚えておくと便利である。
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096

3.1.2 10進数 $\rightarrow$ 2進数

今度は逆で10進数から2進数への変換である。原理的に、先ほどと同じように変換ができるが、計算してみるとそれは難しい²。これは、我々は10進数の演算になれていることが原因となっている。自然には、10進数であろうと2進数であろうと優位性は無いからである。

10進数から2進数への計算手法は簡単であるが、その内容を理解することが大事である。計算手法を忘れても、内容が理解できていれば、その方法はいつでも自分で作ることができる。また、応用範囲も広がる。では、簡単な例で説明する。10進数の $(19)_{10}$ を2進数に変換する方法を示す。具体的には、19を

$\displaystyle (19)_{10}=(\cdots+a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+ a_0\times 2^0)_{10}$

(3)

と表現したい。これは式(2)の2行目の式で、ここで求められた係数を $(\cdots a_4 a_3 a_2 a_1 a_0)_2$ と並べれば位取り記数法になる。それぞれ、

を求めなくてはならない。そこで、次のように19を2で割った商と余りを考える。これは、

$\displaystyle (9\times2+1)_{10} =(\cdots+a_4\times 2^3+a_3\times 2^2+a_2\times 2^1+a_1\times 2^0)_{10} \times 2+a_0$

(4)

と書ける。これをよくにらむと、

ということが分かる。すなわち、

は19を2で割ったあまりである。残りの部分は、

$\displaystyle (9)_{10} =(\cdots+a_4\times 2^3+a_3\times 2^2+a_2\times 2^1+a_1\times 2^0)_{10}$

(5)

となることも分かるでろう。商について同じことをすると、

$\displaystyle (4\times 2+1)_{10} =(\cdots+a_5\times 2^3+a_4\times 2^2+a_3\times 2^1+a_2\times 2^0)_{10} \times 2+a_1$

(6)

となる。したがって、

である。しつこいが、さらに商について同様に進めると、

$\displaystyle (2\times 2+0)_{10}$	$\displaystyle =(\cdots+a_6\times 2^3+a_5\times 2^2+a_4\times 2^1+a_3\times 2^0)_{10} \times 2+a_2$	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle a_2=0$	(7)
$\displaystyle (1\times 2+0)_{10}$	$\displaystyle =(\cdots+a_7\times 2^3+a_6\times 2^2+a_5\times 2^1+a_4\times 2^0)_{10} \times 2+a_3$	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle a_3=0$	(8)
$\displaystyle (0\times 2+1)_{10}$	$\displaystyle =(\cdots+a_8\times 2^3+a_7\times 2^2+a_6\times 2^1+a_5\times 2^0)_{10} \times 2+a_4$	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle a_4=1$	(9)

となる。最後の式から、 $a_n=0\quad(5\leq n)$ が分かる。以上をまとめると

$\displaystyle (19)_{10}$	$\displaystyle =(a_4\times 2^4+a_3\times 2^3+a_2\times 2^2+a_1\times 2^1+ a_0\times 2^0)_{10}$
	$\displaystyle =(1\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)_{10}$	(10)
	$\displaystyle =(10011)_2$

となる。要するに、2で割ったあまりを書いていけば良いのである。計算方法は分かった。だがこの方法は実際的ではない。よく使われるのは、図2のように2で割った余りを並べる。これは、 $(19)_{10}=(10011)_2,\quad(2003)_{10}=(11111010011)_2$ を示している。

**図 2:** 10進数から2進数への変換方法。
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/decimal_to_binary.eps}$

内容を十分理解し、変換の練習をしなくてはならない。

3.2 16進数

2進数の変換が理解できたら、16進数の変換はまったくもって簡単である。

3.2.1 16進数 $\rightarrow$ 10進数

2進数と同じで次のようにする。

$\displaystyle (376)_{16}$	$\displaystyle =(3\times 10^2+7\times 10^1+6\times 10^0)_{16}$
	$\displaystyle =(3\times 16^2+7\times 16^1+6\times 16^0)_{10}$
	$\displaystyle =(3\times 256+7\times 16+6\times 1)_{10}$
	$\displaystyle =(886)_{10}$	(11)

3.2.2 10進数 $\rightarrow$ 16進数

これも2進数と同様に考える。16で割ったあまりを並べれば良い。図 3のようにして、 $(25391)_{10}=(632F)_{16}$ を計算する。

**図 3:** 10進数から16進数への変換方法
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/decimal_to_hex.eps}$

手計算ではこの方法を用いるが、実際のエンジニアーは電卓の変換機能を使う。

コーヒーブレイク
昔から言われるジョークをひとつ。プログラマーは、クリスマス(12月25日)とハロウィーン(10月31日)が区別できない。なぜか?。ヒント

10進数(decimal number)のことをDECと書く。DEC 23 と書けば、10進数の23をあらわしている。

8進数(octal number)はのことをOCTとかく。OCT 23 と書けば、8進数の23を表している。

コーヒーブレイク
昔から言われるジョークをひとつ。プログラマーは、クリスマス(12月25日)とハロウィーン(10月31日)が区別できない。なぜか?。ヒント 10進数(decimal number)のことをDECと書く。DEC 23 と書けば、10進数の23をあらわしている。 8進数(octal number)はのことをOCTとかく。OCT 23 と書けば、8進数の23を表している。

3.3 2進数と16進数の変換

2進数と16進数の相互の変換は簡単である。

なので、2進数の4桁は16進数の一桁に対応している。図4のように、1桁の16進数を4桁の2進数に変換すれば良い。反対に4桁の2進数は、1桁の16進数に変換できる。

**図 4:** 2進数と16進数の相互変換方法
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.8]{figure/binary_hex.eps}$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成17年6月6日