5 浮動小数点と数値計算

5.1 実数演算の誤差

実数では有限のビット数で表現されるため，2進数での桁数が無限に必要な場合はメモリー 中のデータには誤差が含まれる．この誤差を丸め誤差(rounding error)と言う．

C言語の倍精度実数型の精度は，およそ$10^{-16}$ である．この精 度よりも大きさの差(絶対値)が小さい2つの実数の和と差の演算はできない．加算や減算 を行っても，その小さい値は無視される．これを情報落ちと言う．

三角関数を計算する場合，以下のような級数を使う．

$$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!} -\frac{x^{11}}{11!}+\cdots$$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$ (5)

コンピューターでは無限級数を計算することはできない．これをきちんと計算するために は，無限界の計算回数が必要で，無限の時間がかかる．それに，精度が有限であるため， ある程度以下の計算は無意味である．そのため，精度内に計算が収まったら，計算を止め るようになっている．途中で計算を打ち切るので，この誤差を打ち切り誤差と言う．

5.2 二分法

二分法の考え方は単純であるが，非常に強力な方程式の近似解を求める方法である． 考え方の基本は，閉区間$[a,\,b]$ で連続な関数$f(x)$ の値が，

$$f(a)f(b)<0$$ (6)

ならば， $f(\alpha)=0$ となる$\alpha$ が区間$[a,\,b]$ にある．これは，中間値の定理か ら保証される．こんなことを言わないまでもあたりまえである．ただ，連続な区間で適用 できることを忘れてはならない．

実際の数値計算は， $f(a)f(b)<0$ であるような2点 $a,\,b(a<b)$ から出発する． そして，区間$[a,\,b]$ を2分する点$c=(a+b)/2$ に対して，$f(c)$ を計算を行う． $f(c)f(a)<0$ ならば$b$ を$c$ と置き換え， $f(c)f(a)>0$ ならば$a$ を$c$ と置き 換える．絶えず，区間$[a,b]$ の間に解があるようにするのである．この操作 を繰り返して，区間の幅$\vert b-a\vert$ が与えられた値 $\varepsilon$ よりも小さく なったならば，計算を終了する．解へ収束は収束率1/2の一次収束という．

リスト6に実際のプログラム例を示す．このプログラムと先の説明で用いた変数との対応は，次の通りである．

$a\rightarrow$ left
$b\rightarrow$ riht
$c\rightarrow$ mid
$\varepsilon\rightarrow$ epsilon

リスト6 二分 法のプログラム(転載について)

   1 #include <stdio.h>
   2 #include <math.h>
   3 #include <stdlib.h>
   4 
   5 double func(double x)
   6 { 
   7     return x*cos(x)+sin(x)+exp(-x*x)+x*x-x-3;
   8 }
   9 
  10 
  11 double BinarySearch(void)
  12 {
  13     double left,mid,right,epsilon;
  14 
  15     epsilon=0.00001;
  16 
  17     left=-2.0;
  18     right=2.0;
  19 
  20     while(fabs(right-left)>epsilon)
  21     {
  22         mid=(left+right)/2.0;
  23 
  24         if(func(left)*func(mid)>=0.0)
  25             left=mid;
  26         else
  27             right=mid;
  28     }
  29     return left;
  30 }
  31 
  32 int main(void)
  33 {
  34     double d;
  35     d=BinarySearch();
  36     printf("方程式の解は%lf，"
  37             "そのときのfunc(x)は%lfです。\n",d,func(d));
  38     return EXIT_SUCCESS;
  39 }

5.3 練習問題

[問1]

C言語の実数型を使った演算で生じる3つの誤差の名前を書け．

[問2]

2分法(バイナリーサーチ)を用いて，方程式の近似解を求める原理を説明せ よ．

[転載について]
このページ中のリスト6のプログラムは，教科書として使用している以下の書籍

書名	プログラミングの宝箱　アルゴリズムとデータ構造 ISBN4-7973-2419-8
著作者	紀平拓男・春日伸弥
出版社	ソフトバンク　パブリッシング株式会社

から転載しました(ただし，一部変更している)．この転載に関しては，著者と版元に許諾を得ています．

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志