6 付録

6.1 実数の表現

実際のコンピューターを用いた計算では，実数がよく使われる．ここでは，C言語の倍精 度実数型「double」で変数を宣言したときの，データの格納の仕方を示す．諸君に とってはかなり難しいと思うので，ここは分かる者のみトライせよ．講義では説明しない．

6.1.1 浮動小数点表示

浮動小数点表示とは，指数化（例えば， $-0.123\times 10^{-2}$ ）して数値を表現する． これは非常に便利な方法で，自然科学では多くつかわれる．コンピューターでも同様で， データが整数と指定されない限りこの浮動小数点が用いられる．実際，この仮数部の (-0.123)と指数の(-2)をメモリーに格納する．この方法の長所と短所は，以下の通りであ る．

長所

決められたビット数内で，非常に小さな数値から大きな数値まで表現可能になる．

短所

桁落ち誤差が発生する場合がある．

浮動小数点表示を学習するために，必要な言葉の意味は，図8の 通りである．1年生の数学の授業で学習したはず．

図 8: 指数表現の名称

6.1.2 C言語の倍精度実数型

IEEEの規格のC言語の倍精度実数型の「double」の表現について説明する．まず，浮動小数点 表示のための正規化を図9に示す．当然，仮数部，指数部とも2進数表現です．仮数部は，符号と1.XXXXのように表す．

図 9: IEEE規格表現のための規格化

つぎに，これをIEEE規格の浮動小数点に表すことを考える．まずその規格の仕様は，以下 のようになっている．

• 64ビット(第0ビット〜第63ビット)で，浮動小数を表わす．各ビットの構成は，図 10の通りである．
• 最上位の第63ビットが仮数部の符号ビットである．正の場合ゼロで，負の場合1に なる．
• 指数は11ビットでオフセットバイナリ方式で表す．11ビットで0〜2047の値に なる．ただし，指数部11ビットの値0と2047は例外処理のために予約されてい る．11ビットで表現される値からオフセット値1023を引くことにより指数の値が -1022〜1023の範囲になるように定められている．
• 仮数部は52ビットである．小数点以下を，絶対値で表現する．規格化のための整数 部は1と分かっているので，このためのビットは割り当てられていない．

図 10: IEEE規格(C言語の倍精度実数)表現のビットの内訳

以上の仕様をもとに，図9で規格化された数を浮動小数点表示を 示す．ほとんどの部分は規格化で分かるが，指数のみ計算が必要である．指数は，オフセッ トバイナリーで計算するために，まず10進数で表す．

$$(-1011)_2=(-8-2-1)_{10}=(-11)_{10}$$ (9)

不動小数表示の指数は，この式の値に 1023 を加算して求める．すると，

$$(-11+1023)_{10}=(1012)_{10}=(1111110100)_2$$ (10)

となる．

これで，すべて準備が整った．不動小数点表示は，図11のようにな る．実際のコンピューターには，この64ビットのデータが格納される．メモリーは８ビッ ト(1バイト)毎アドレスが割り当てられているので，8番地分のデータ領域が必要である．

図 11: IEEE規格の浮動小数点表示の例

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著者: 山本昌志