2 方程式

2.1 コンデンサーの性質

コンデンサーを規定する重要な性質にキャパシタンス(静電容量)があるのは，十分承知し ていると思う．これを計算する方法は，いろいろある．その中で，私が好んで使う方法は， エネルギーから計算する方法である．これは，電場の状態がキャパシタンスを決めるとい う意味で非常に物理的意味が分かりやすい．空間に電場 $\boldsymbol{E}$ が分布している場合，その エネルギー $\boldsymbol{U}$ は

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{E}dV$$

$$=\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}^2dV$$ (1)

となる． $\frac{1}{2}\varepsilon\boldsymbol{E}^2$ が静電場のエネルギー密度になっている．信 じられない，それならば次元解析をしてみよ．

また，よく知られているように，コンデンサーの電圧$V$ とキャパシタンス$C$ ， そして，そこにたまっているエネルギーの関係は，

$$U_c=\frac{1}{2}CV^2$$ (2)

である．コンデンサー内部では，それらは図1のような関係になっ ている．これからも分かるように，コンデンサーの内部には式 (1)が示す静電場のエネルギーが蓄えられている．一方，電 気的には，式2が示すエネルギーが蓄えられている． これらのエネルギーは，当然等しいので，

$$\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E}^2dV=\frac{1}{2}CV^2$$ (3)

という関係がある．この式の左辺の電場はいろいろな方法で計算でき，静電場のエネル ギーを求めることができる．一方，電圧$V$ は予め与えられているので，このエネルギーをつ かって，静電容量が計算できる．要するに，静電場$E$ を求めることができれば，静電容 量$C$ が計算できるのである．

いままで，よく分からなかった静電容量というものは，コンデンサーに蓄えられるエネルギーを示す 指数と考えて良い．私は，この考え方が好きである．なにしろ，分かりやすい．

図 1: コンデンサーの様子

2.2 コンデンサー内部の電場

先に示したとおり，コンデンサー内部の電場が分かれば，そのキャパシタンスを求めるこ とができる．それは簡単ではないか，電圧$V$ を電極間距離$L$ で割れば，$E=V/L$ と求め られると言う人がいる．これは，コンデンサー内部で誘電率が一様な場合は正しい．そん な単純な問題は，いままでさんざん学習してきたし，つまらない．ここでは，もう少し難 しい問題を解くことにする．

誘電率が，3次元($x,y,z$ の関数)で変化すると計算が大変なので，1次元問題に限ること にする．2次元や3次元も考え方は同じであるが，計算は大変である．ここで，計算するコ ンデンサー内部は，図2のとおりとする．誘電率は，座標$x$ の関数で， 変化するものとする．

このような場合の電場はどうなるのであろうか?．一つの方法は，ポアッソン方程式 ²

$$\nabla^2(\varepsilon\phi)=0$$ (4)

を解くことである．ここで，$\phi$ はポテンシャルで，電圧のことである．少し気取って 書いているのである．この微分方程式を $\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$ の境界条件で解けば良 い．そうすると必要なものが全て計算できるので，静電容量を計算できる．しかし，今回 は，この方法で計算しないことにする．

ポアッソン方程式の代わりに，コンデンサー内部の電場は，そのエネルギーが最小になる ように分布すると言う原理を使う．当然，このばあいでも，境界条件 $\phi(0)=V_0,\phi(L)=V_1$ は課せられている．コンデンサーの内部のエネルギーは，1次元 なので，

$$U_s =\frac{1}{2}\int\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dV$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dx$$ (5)

と書ける．

このポテンシャル分布をコンピューターに計算させるために，コンデンサーの内部を細か くN等分に区切る．この様子を図3に示す．すると，エネルギーは

$$U_s =\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \boldsymbol{E_x}^2dx$$

$$=\frac{S}{2}\int_0^L\varepsilon \left(\frac{d\phi}{dx}\right)^2dx$$

$$=\frac{S}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}}{2} \left(\frac{\phi_i-\phi_{i-1}}{h}\right)^2h$$

$$=\frac{Sh}{2}\left[ \cdots+ \frac{\varepsilon_i+\varepsilon_{i-1}... ...varepsilon_{i}}{2} \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right)^2 +\cdots \right]$$ (6)

となる．

静電場のエネルギーが最小になるためには，微分がゼロになる必要がある．このエネルギー をポテンシャル$\phi_i$ で微分すると

$$\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^... ...2} \left(\frac{\phi_{i+1}-\phi_{i}}{h}\right) \right]\qquad(i=1,2,3,\cdots,N-1)$$ (7)

となる．$U_s$ が最小値になるためには， $\if 11 \frac{\partial U_s}{\partial \phi_i} \else \frac{\partial^{1} U_s}{\partial \phi_i^{1}} \fi =0$ となる必要がある． また，コンデンサーの両端の電圧は固定されているので， $\phi_0=V_0$ で $\phi_N=V_1$ である． 従って，これらをまとめると

$$\left\{ \begin{aligned}&\phi_0=V_0 &-\left(\varepsilon_{i-1}+... ...ilon_{i+1}\right)\phi_{i+1}=0 &\phi_N=V_1 \end{aligned} \right.$$

となる．要するに，この連立1次方程式を計算すれば，任意の誘電率の場合のコンデンサー内部のポテ ンシャル(電圧)が得られる．ポテンシャルが分かれば，電場が分かり，そうすると内部の エネルギーが計算できる．従って，静電容量が求められるわけである．

じつは，ここで示した計算方法は有限要素法と呼ばれている．

図 2: コンデンサー内部

図 3: 分割の様子

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志