2 問題

2.1 CR発振回路

3年生の実験実習の「発振回路」では、図1の回路の実験を行った。ここでは、この回路が、本当に発振するか否か、シミュレーションする。

**図 1:** CR発振回路。バイアスやトランジスタ駆動用の電源は省いている。
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.2]{figure/CR_osc_0.eps}$

ただし、この回路のままだと、計算が大変なので、トランジスターをhパラメーターを用いて表現する。それは、図2のようになる。これを、1周にわたって閉回路の電位差を足しあわせるとゼロになるというキルヒホッフの第2法則を表現しやすいように表したものが図3である。それぞれの図の回路は全く同じであることに注意せよ。

**図 2:** hパラメーターを用いた等価回路
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.2]{figure/CR_osc_1.eps}$

**図 3:** 書き直した等価回路
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.2]{figure/CR_osc_2.eps}$

2.2 微分方程式

キルヒホッフの法則より、図3の回路では、

$\begin{equation*}\begin{aligned}&(I_0-I_1)R-\frac{1}{C}\int_0^tI_1dt+(I_2-I_1)R=... ...\\ &(I_2-I_3)R-\frac{1}{C}\int_0^tI_3dt-I_3h_{ie}=0 \end{aligned}\end{equation*}$

が成り立つ。言うまでもないが、回路の電流

が時間の関数である。このままでは、ルンゲ・クッタ法で計算するのは困難なので、これらの式を時間で微分する。すると

$\begin{equation*}\begin{aligned}&\left(\frac{dI_0}{dt}-\frac{dI_1}{dt}\right)R- ... ...{dt}\right)R- \frac{I_3}{C}-h_{ie}\frac{dI_3}{dt}=0 \end{aligned}\end{equation*}$

となる。このままだと、式が3個で未知数が4個なので、解くことができない。ここで、トランジスターのhパラメーターを導入する。トランジスターの特性より

$\displaystyle I_0=-h_{fe}I_3$

(3)

となる。すると、解くべき式は、

$\begin{equation*}\begin{aligned}&\left(-h_{fe}\frac{dI_3}{dt}-\frac{dI_1}{dt}\ri... ...{dt}\right)R- \frac{I_3}{C}-h_{ie}\frac{dI_3}{dt}=0 \end{aligned}\end{equation*}$

である。これが、回路の電流を表す微分方程式である。

これらの連立の微分方程式を4次のルンゲクッタ法で計算すれば良いのであるが、もう少し変形する必要がある。のような、形にする。これは、連立方程式なので、変形は面倒であるが可能である。計算し易いように変形²すると

$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{dI_1}{dt}&= -\frac{(2h_{ie}+R)I_1+(h_{ie}-... ...}{dt}&= -\frac{I_1+2I_2+3I_3}{C(3h_{ie}+R+h_{fe}R)} \end{aligned}\end{equation*}$

となる。

2.3 計算条件

常微分方程式を以下の条件で計算せよ。トランジスターの特性については、私は素人で全く知らないので、適当に仮定している。それでも、発振の基本的なメカニズムは分かるであろう。

計算を簡単にするためにとせよ。また、トランジスターの入力インピーダンスは小さいので、 $h_{ie}=0$ とせよ。増幅率は、 ${h_{fe}=20,28,29,30,40}$ のおのおので計算し、の電流をグラフにせよ。なにが起きているか?。周波数は、付録の理論計算と合っているか?。
先の計算が終われば、増幅率が電流の関数である場合について、考察する。一般に、トランジスターは電流が増加すると増幅率は下がる。このことにより、発信の成長が止まり、振幅が一定になる。増幅率が

$\displaystyle h_{fe}=40-I_3$ (6)

とした場合(図4)について計算せよ。この場合は、うまく発振しない。なぜか?
次に、増幅率が

$\displaystyle h_{fe}=40\times\exp\left(-\frac{I_3^2}{2}\right)$ (7)

の場合(図5)について、計算してみよう。この場合は、安定に発振する。なぜか?。安定状態の波形は正弦波になっているだろうか?。なぜ、そのような波形になるか、考えてみよう。

**図 4:** 1次関数で増幅率が変化
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.85]{figure/linear_amp.eps}$

**図 5:** ガウス分布で増幅率が変化
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.85]{figure/gauss_amp.eps}$

これを計算する場合のヒントを与えておく。発振の成長は、種信号の増幅の繰り返しである。実際の発振器の種信号は、熱雑音であったり、スイッチのON/OFFのノイズであったりする。計算機でシミュレーションする場合、それは、または、のいずれかの一つに非常に小さい値を与えれば良い。そして、残りの2つは、ゼロとしておく。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年6月24日