2 連立一次方程式

2.1 連立方程式の表現方法

連立1次方程式(Linear Equations)は、次のような形をしている。

$$\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1N}x_N&=... ...a_{M1}x_1+a_{M2}x_2+a_{M3}x_3+\cdots+a_{MN}x_N&=b_M \end{aligned}$$

式(7)は行列とベクトルで書くと、式がすっきりして 考えやすくなる。書き直すと、

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$$ (8)

である。それぞれの行列とベクトルは、

$$\begin{aligned}\boldsymbol{A}&= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} ... ...rix}b_1 \ b_2 \ b_3 \ \vdots\ b_N \end{bmatrix} \end{aligned}$$

を表す。

通常、連立1次方程式(7)は

$$\begin{aligned}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...rix}b_1 \ b_2 \ b_3 \ \vdots\ b_N \end{bmatrix} \end{aligned}$$

と書き表せる。このようにすると、見通しがかなり良くなる。

2.2 ガウス・ジョルダン法の基本的な考え方

ガウス・ジョルダン(Gauss-Jordan)法というのは、連立方程式 (10)を次にように変形させて、解く方法である。

$$\begin{aligned}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 &... ... \ b_3^\prime \ \vdots\ b_N^\prime \end{bmatrix} \end{aligned}$$

この式から明らかに、求める解 $x_{i}=b_{i}^\prime$ となる。これをどうやって求めるか?。 コンピューターで実際に計算する前に、人力でガウス・ジョルダン法で計算してみる。例 として、

$$\left\{ \begin{aligned}1x+2y+3&=2\ 2x+2y+3z&=1\ 2x+2y+1z&=-1 \end{aligned} \right.$$

をガウス・ジョルダン法で解を求める。 解くべき、方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} ... ...rix}x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$$

2行$-2\times$ 1行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & -2 & -3 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix... ...ix}x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \ -3 \ -1 \end{bmatrix}$$

3行$-2\times$ 1行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & -2 & -3 \ 0 & -2 & -5 \end{bmatr... ...ix}x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \ -3 \ -5 \end{bmatrix}$$

$-\frac{1}{2}\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & -2 & -5 \e... ... x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \ \frac{3}{2} \ -5 \end{bmatrix}$$

1行$-2\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & -2 & -5 \e... ...x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \ \frac{3}{2} \ -5 \end{bmatrix}$$

3行$+2\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -2 \en... ...x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ \frac{3}{2} \\ -2 \end{bmatrix}$$

$-\frac{1}{2}\times$ 3行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & 0 & 1 \end... ... x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \ \frac{3}{2} \ 1 \end{bmatrix}$$

$2行-\frac{3}{2}\times$ 3行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ... ...rix}x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

これで、ガウス・ジョルダン法による対角化の作業は完了である。これか ら、 $(x_1,x_2,x_3)=(-1,0,1)$ と分かる。

2.3 逆行列

ガウス・ジョルダンを使って，逆行列が求められる．以下のようにする．解くべき、方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} ... ...egin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

とする．

2行$-2\times$ 1行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & -2 & -3 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix... ...gin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

3行$-2\times$ 1行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & -2 & -3 \ 0 & -2 & -5 \end{bmatr... ...in{pmatrix}1 & 0 & 0 \ -2 & 1 & 0 \ -2 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

$-\frac{1}{2}\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & -2 & -5 \e... ...}1 & 0 & 0 \ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \ -2 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

1行$-2\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & -2 & -5 \e... ...-1 & 1 & 0 \ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \ -2 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

3行$+2\times$ 2行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & \frac{3}{2} \ 0 & 0 & -2 \en... ...-1 & 1 & 0 \ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \ 0 & -1 & 1 \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

$-\frac{1}{2}\times$ 3行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end... ...frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

$2行-\frac{3}{2}\times$ 3行

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ... ... & \frac{3}{4} \ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \end{pmatrix} \end{bmatrix}$$

これで、ガウス・ジョルダン法による対角化の作業は完了である。これか ら、 $(x_1,x_2,x_3)=(-1,0,1)$ と分かる。さらに，逆行列が

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}^... ...& -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} \ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \end{bmatrix}$$

と分かる．

2.4 ガウス・ジョルダン法のC言語の関数

ピボット選択は行わないで、逆行列も求めないのガウス・ジョルダン法で連立方程式を計 算するプログラムを示す。このプログラムの動作は、次の通りである。

• 仮引数「n」は、解くべき連立方程式の未知数の数である。
• 仮引数の配列「a」と「b」は、係数行列 $\boldsymbol{A}$ と非同次項 $\boldsymbol{b}$ である。 値は、呼び出し元からにアドレス渡しで送られる。
  • 係数行列は、配列「a[1][1]」〜「a[n][n]」に格納されている。
  • 非同次項は、配列「b[1]」〜「b[n]」に格納されている。
• 連立方程式の解 $\boldsymbol{x}$ は、配列「b[1]」〜「b[n]」に格納される。
• このプログラムでの処理が終了すると、配列「a[1][1]」〜「a[n][n]」は単位 行列になる。。

	/* ========== ガウスジョルダン法の関数 =================*/
	void gauss_jordan(int n, double a[][100], double b[]){

	   int ipv, i, j;
	   double inv_pivot, temp;

	   for(ipv=1 ; ipv <= n ; ipv++){

	      /* ---- 対角成分=1(ピボット行の処理) ---- */
	      inv_pivot = 1.0/a[ipv][ipv];
	      for(j=1 ; j <= n ; j++){
	         a[ipv][j] *= inv_pivot;
	      }
	      b[ipv] *= inv_pivot;

	      /* ---- ピボット列=0(ピボット行以外の処理) ---- */
	      for(i=1 ; i<=n ; i++){
	         if(i != ipv){
	            temp = a[i][ipv];
	            for(j=1 ; j<=n ; j++){
	               a[i][j] -= temp*a[ipv][j];
	            }
	            b[i] -= temp*b[ipv];
	         }
	      }

	   }
	}

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志