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(27) |
これらの式(28)と(29)を元の2次元ラプラス 方程式(25)に代入すれば,
実際にこの式を数値計算する場合,計算領域を間隔
で格子状3に区切り,その交点での値を求めることになる.
ここでは,xおよびy方向には等間隔
で区切り計算を進めるが,等間隔である必要はな
い.多少,式(30) は異なるが同じような計算は可能である.これまでの説
明が理解できていれば,xとy方向の間隔が異なっても,式(30)に対応する差
分の式が作れるはずである.
実際,数値計算をする場合,
や
の形は不便なので,形式を改め
る.各格子点でのポテンシャルを
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(31) |
ラプラス方程式は式(32)の連立方程式を解くだけである.格子に領域を分 割することにより,難しげな偏微分方程式が連立方程式に還元されたわけである.
連立方程式を解くわけであるが,このままでは,式の数と未知数の数が異なる.格子点で のポテンシャルの値を求めるためには,境界条件を設定する必要がある.それにより,式 の数と未知数の数が同一になり,格子点でのポテンシャルを求めることができる.
波動方程式の他に,初期条件と境界条件がある.力学的状態は,ある時刻,ここでは
の時の変位とその変位の速度が決まれば,それ以降を決めることができる.振動の
場合は,これに加えて更に,振動の境界条件を決める必要がある.これらが決まって初め
て,波動方程式とともに,振動の状態,ある時刻と位置の変位の値が決まるわけである.
図4に初期条件と境界条件の様子を示す.
まずは,波動方程式を差分方程式に書き直すことからはじめる.これも,いつものように,
解
をテイラー展開する.x方向の微小変位を
,時間軸方向の微小変位
を
とする.すると,
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これらの式(35)と(36)を元の波動 方程式(33)に代入すれば,
実際に式(38)を数値計算する場合,x方向には
,時間
軸方向には
毎に分割する.ラプラス方程式を格子点で分割したのと
同じである.格子点に分割し数値計算する場合,
や
と表現する
よりは,
と表現したほうが便利である.そこで,
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