2 電流にはたらく力

2.1 直線電流に働く力

無限に長い直線電流どうしに働く力を考える。そのために、それが作る磁場を計算する。磁場は微分形のアンペールの法則

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}$

(1)

から導くのが簡単である。磁束密度 $\boldsymbol{B}$ と磁場の強さ $\boldsymbol{H}$ は、

$\displaystyle \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}$

(2)

の関係がある。これを用いると、

$\displaystyle \nabla\times \boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{j}$

(3)

となる。この直線電流から、

離れた場所で積分を行う。

$\displaystyle \int\nabla\times \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$	$\displaystyle =\int \mu_0\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$
	左辺にストークスの定理を応用すると
$\displaystyle \oint\nabla\times B\cdot\mathrm{d}\ell$	$\displaystyle =\mu I_2$
$\displaystyle 2\pi r B$	$\displaystyle =\mu I_2$	(4)

これから、磁束密度は

$\displaystyle B=\frac{\mu_0I_2}{2\pi r}$

(5)

となる。この磁束密度は元々、力から定義されていた。図 1のように置かれた電線が単位長さ当たり受ける力は、

$\displaystyle F$	$\displaystyle =I_1B$
	$\displaystyle =\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi R}$	(6)

となる。

式(6)に示した力は平行に導線を張った場合に働く力である。それに対して、平行でない場合は、

$\displaystyle \Delta F=I\Delta\ell\times\boldsymbol{B}$

(7)

となる。これをアンペールの力と言う。

**図 1:** 2本の平行導線に働くアンペールの力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Ampere_force_two_wire.eps}$

**図 2:** 電流要素に働くアンペールの力
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/Ampere_force_current_element.eps}$

教科書の図6.2に書いてある通り、コイルの上下方向の力は、反対で一直線上にある。したがって、コイルの重心を移動させる力は発生しない。トルクはどうだろうか?。ゼロであることは直ちに理解できる。上下方向の力をそれぞれ、 $\boldsymbol{F}$ と $-\boldsymbol{F}$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{N}$	$\displaystyle =\boldsymbol{r}_1\times\boldsymbol{F}-\boldsymbol{r}_2\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =0$	(8)

となる。直感の通り、ちゃんと計算してもコイルの上下方向の働くトルクは、キャンセルされる。

左右方向はどうだろうか?。力の大きさが反対なので、重心を移動させる力は発生しない。しかし、トルクは発生する。左右方向の力をそれぞれ、 $\boldsymbol{F}$ と $-\boldsymbol{F}$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{N}$	$\displaystyle =\boldsymbol{r}_3\times\boldsymbol{F}-\boldsymbol{r}_4\times\boldsymbol{F}$
	$\displaystyle =(\boldsymbol{r}_3-\boldsymbol{r}_4)\times\boldsymbol{F}$	(9)