4 マクスウェルの方程式

ここでは、静電場を記述する式から出発し、電荷保存則とFaradayの電磁誘導の法則が成 り立つように、電磁場の発散と回転の式を拡張した。これにより、電磁場( $\boldsymbol{E}$, $\boldsymbol{D}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{H}$)及び、電荷密度$\rho$と電流密度 $\boldsymbol{j}$の全ての変数 が時間の項を含ませることができる。他に法則はなく、これだけである。全て書き出すと、

$$\div{\boldsymbol{D}}=\rho$$ (35)

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$ (36)

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$$ (37)

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$ (38)

となる。ただし、電磁場がある媒質の性質を決める誘電率 $\varepsilon$と透磁率$\mu$を とおして、

$$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$$ (39)

$$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$$ (40)

の関係がある。

もう一度言うが、全ての変数は位置 $\boldsymbol{r}$と時間$t$の関数となっている。これが電磁 場を記述する完全な方程式である。これが計算できれば全ての電磁気の問題は解けること になる。

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著者: 山本昌志