3 電磁気学の基本法則

古典物理学の2つの柱は、ニュートン力学と電磁気学である。いずれも微分方程式が書か れることが多く、ニュートン力学では

$$\boldsymbol{F} =\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}$$ (1)

$$\boldsymbol{p}=m\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} m$$

$$=m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}$$ (2)

となる。これが Newtonの運動の第2法則(Newton's Second Law of Motion)である。通常 はこれを積分して、運動を求めることになる²。

これに対して、電磁気学の法則は、

$$\begin{aligned}&\div{\boldsymbol{D}}=\rho &\qquad &\div{\boldsy... ...{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0 \end{aligned}$$

と書かれる4組の連立の微分方程式である。これをマクスウェルの方程式(Maxwell equations)という。ここで、

記号	物理量	単位	スカラー/ベクトル
$\boldsymbol{D}$	電束密度	[ $\mathrm{C/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{B}$	磁束密度	[T]あるは[ $\mathrm{Wb/m^2}$]	ベクトル
$\boldsymbol{H}$	磁場(の強さ)	[ $\mathrm{A/m}$]	ベクトル
$\boldsymbol{E}$	電場(の強さ)	[ $\mathrm{V/m}$]	ベクトル
$\rho$	電荷密度	[ $\mathrm{C/m^3}$]	スカラー
$\boldsymbol{j}$	電流密度	[ $\mathrm{A}/\mathrm{m^2}$]	ベクトル

である。こんなものはまだ理解する必要はない。この授業の最後で理解すべきものとなる。 ただ、基本方程式というものがあることは分かって欲しい。

力学では、基本方程式が与えられてから、それを問題に適用することを学習することが多 い。それに対して、ここでの電磁気学では、最後の方に基本方程式を導くことになる。力 学の基本方程式は、直感的にある程度理解できるので、それが可能である。電磁気学の式 (3) はそんなに単純ではなく、少し修行してから理解するしかない のである。

電気回路のもっとも基本的な法則である、オームの法則やキルヒホッフの法則もこのマク スウェルの方程式から、ある近似をして導かれることを忘れてはならない。電気回路とい えども電磁気的な現象なので、マクスウェルの方程式から計算できるのである。ただ、計 算が大変なので、近似であるオームの法則を使う。通常であれば、それで十分な精度を得 ることができる。おもしろいことに、回路の動作が高速になるとオームの法則ではだめな 場合が生じている。高速のCPUの設計にオームの法則ではなく、マクスウェルの方程式が 使われることがある。

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志