6 座標の回転とベクトル

物理の少し済んだ問題を考えるようになると、大きさと方向を持つ量をベクトルと定義で きなくなる。例えば非当方的な物質に力を加えた場合の歪みを表す弾性定数などである。 この辺の話は長くなるので行わないが、頭の中に入れておいて欲しい。

先に示したように、ベクトルは成分で表すことができる。3次元空間であれば、y方向とy 方向とz方向の成分のようにである。しかし、よく考えてみると、空間には特別な軸とい うものはなく、等方的なはずである。従って、自然現象であるベクトルというものは軸の 選び方によって、変化してはならないはずである。ベクトルの成分は軸の選び方によって 変わってしまうが、ベクトルそのものは変わってはならない。そのためには、軸を変えた 場合、それに応じてベクトルの成分が変わらなくてはならない。要するに、軸を変えても 変化しない量がベクトルなのである。「方向と大きさを持つ量」よりも、「軸を変えても 変化しない量」とする方がベクトルの定義としてふさわしい。それでは、軸を変えても変 化しない量とはどのようにして分かるのだろうか?。これは、「軸を変えた場合、ベクト ルの成分はどのように変化する必要がある」と言い換えることができる。

空間に浮かんでいる矢がベクトルと想像して欲しい。その矢の成分が軸を変えるとどうな るか考える。軸の変えると言うことは

• 軸の平行移動
• 軸の回転

に場合分けできる。軸の平行移動の場合、ベクトルの成分が変わらないのは明らかであろ う。軸とベクトルとの角度は変化しないので、軸への射影である成分は変化しない。軸を 平行移動させたら、位置ベクトルは変わるように思える。はじめに述べたように、位置ベ クトルというものは、原点からの変位を表すもので、それを変えるため、成分の値が変わ る。しかし、変位の原点を変えないで、座標軸を平行移動させた場合、その成分の値は変 わらない。変位の原点と座標の原点を混同してはいけない。

一方、座標の回転に対してベクトルの成分の振る舞いは、座標変換を考えればよい。3次 元の計算と図示は大変なので、2次元で考えることにする。例えば、図 10のような変位ベクトルを考える。成分は、当然座標軸への射影 であることを忘れてはならない。$x-y$座標から $x^\prime-y^\prime$座標へ回転させる。 座標軸を回転させても、ベクトルは変化しない。図の矢が変わっていないので、そうであ る。ただし、ベクトルの成分は変化する。この成分の変化は、

$$\begin{pmatrix}r_x^\prime \ r_y^\prime \end{pmatrix} = \begin{pm... ... -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}r_x \ r_y \end{pmatrix}$$ (12)

と変換される。座標の回転に対して、ベクトルの成分はこの式と同じように変換されなく てはならない。ベクトルの成分は、座標系の回転ではその一つの点の座標と同じ変換とな るのである。これを、新たなベクトルの定義して用いることにする。

これは、一つの物理的な法則がベクトルの方程式で表せたとすると、その式の関係は座標 系を回転させても変わらないことを意味している。もっとはっきり言うならば、その法則 は、座標系に依存していないと言えるのである。だからこそ、ベクトルを用いた表現は有用なので ある。そう、物理おけるベクトル量は単なる幾何学の対象である。

ベクトルを矢で書くと、座標の変換によって、それが変わらないことは分かるが、計算は 面倒である。一方、成分で表すと、計算は簡単であるが、座標変換による成分の変化をよ く見ないといけない。ベクトルだと思っているものが、ベクトルでない場合があるのであ る。

図 10: 座標の回転

[練習1]

一組の量$(-y,\,x)$は2次元ベクトルの成分であることを示せ。

[練習2]

一組の量$(x, -y)$は2次元ベクトルの成分でないことを示せ。。

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著者: 山本昌志