ベクトル解析の恒等式
の両辺を体積積分する。左辺にはガウスの定理を用いると、
![$\displaystyle \int_S f\boldsymbol{\nabla} g\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S =\int...
...l{\nabla} f\cdot\boldsymbol{\nabla} g+f\boldsymbol{\nabla}^2g\right)\mathrm{d}V$](img11.png) |
(6) |
である。これで、式(
3)が証明できた。
式(5)と、これの
と
を入れ替変えたの辺々を引き
算すると、
![$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(f\boldsymbol{\nabla}g-g\boldsymbol{\nabla}f\right)=f\boldsymbol{\nabla}^2g-g\boldsymbol{\nabla}^2 f$](img14.png) |
(7) |
となる。同じように体積積分をしてガウスの定理を使うと、式(
4)を得る
ことができる。
グリーンの定理は、
![$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} f\cdot\boldsymbol{n}= \if 11 \frac{\partial f}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} f}{\partial n^{1}}\fi$](img15.png) |
(8) |
として、
![$\displaystyle \int_V(\boldsymbol{\nabla}f\cdot \boldsymbol{\nabla}g+f\boldsymbo...
...rtial g}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \mathrm{d}S$](img16.png) |
(9) |
![$\displaystyle \int_V\left(g\boldsymbol{\nabla}^2g-f\boldsymbol{\nabla}^2 g\righ...
...}{\partial n} \else \frac{\partial^{1} g}{\partial n^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S$](img17.png) |
(10) |
と書かれる場合もある。
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Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
平成19年6月24日