3 微分

スカラー場 $f(x,\,y,\,z)$ があるとき、その勾配 $\boldsymbol{\nabla}f$ の各成分を示せ。
位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ のカーテシアン座標系の各成分を示せ。
位置ベクトル $\boldsymbol{r}$ の大きさの勾配を示せ。
$\boldsymbol{A}=(a_x,\,a_y,\,a_z)$ の時、 $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$ を示せ。
以下を確認せよ。

$\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \boldsymbol{\nabla} (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$

$\displaystyle (b)$ $\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$

$\displaystyle (c)$ $\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$

$\displaystyle (d)$ $\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{r}=0$

$\displaystyle (e)$ $\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times (r^n\boldsymbol{r})=0$

$\displaystyle (f)$ $\displaystyle \boldsymbol{\nabla}^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %$
次のベクトル場は、図6～ 11のどれに対応するか分かるか?。ただし、分かりやすくするために、ベクトルの大きさはスケールされている。

$\displaystyle (a)$ $\displaystyle \hspace{3mm}$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$

$\displaystyle %$ $\displaystyle (b)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$

$\displaystyle (c)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$

$\displaystyle (d)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$

$\displaystyle (e)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$

$\displaystyle (f)$ $\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %$
図6～11のうち、 $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=0$ あるは $\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}=0$ のものはどれか?。まずは、計算をしないで考えよ。その後、計算を行い確認せよ。

**図 6:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig1.eps}$

**図 7:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig2.eps}$

**図 8:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig3.eps}$

**図 9:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig4.eps}$

**図 10:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig5.eps}$

**図 11:**
$\includegraphics[keepaspectratio, scale=0.7]{figure/fig6.eps}$

ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
平成19年6月24日

$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} (\log r)=\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} \hspace{70mm}$
$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \div{\boldsymbol{r}}=3$
$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \div{\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)}=0$
$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{r}=0$
$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times (r^n\boldsymbol{r})=0$
$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \boldsymbol{\nabla}^2\left(\frac{1}{r}\right)=0 %$

	$\displaystyle (a)$	$\displaystyle \hspace{3mm}$	$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(0,\,\frac{1}{1+x^2},\,0\right) \hspace{70mm}$
$\displaystyle %$	$\displaystyle (b)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(x,\,y,\,0\right)$
	$\displaystyle (c)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\left(y,\,x,\,0\right)$
	$\displaystyle (d)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r^2}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (e)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(y,\,-x,\,0\right)$
	$\displaystyle (f)$		$\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{1}{r}\left(-x-y,\,x-y,\,0\right) %$