5 電磁誘導

`[`問1]
図のように磁石の間に面積 $S=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}^2$ で、抵抗 $R=10\Omega$ の長方形コイルを設置して、その中心軸のまわりを角速度 $\omega=3\times10^3\mathrm{s}^{-1}$ で回転させる。このとき、コイル内に発生する電流の強さの最大値はいくらか。なお、磁石の作る磁束密度の強さは $B=0.5\mathrm{T}$ とする。また、コイル内の誘導電流のつくる磁場による効果は無視してよい。 $\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/dBdt.eps}$

[問1]

図のように磁石の間に面積 $S=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}^2$ で、抵抗 $R=10\Omega$ の長方形コイルを設置して、その中心軸のまわりを角速度 $\omega=3\times10^3\mathrm{s}^{-1}$ で回転させる。このとき、コイル内に発生する電流の強さの最大値はいくらか。なお、磁石の作る磁束密度の強さは $B=0.5\mathrm{T}$ とする。また、コイル内の誘導電流のつくる磁場による効果は無視してよい。

$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/dBdt.eps}$

コイルを貫く磁束 $\phi$ は、

$\displaystyle \phi$	$\displaystyle =\int_S B\mathrm{d}S\sin(\omega t+\theta_0)$
	$\displaystyle =BS\sin(\omega t+\theta_0)$

と書ける。コイル1周に発生する電圧

は、

$\displaystyle V$	$\displaystyle =\oint\boldsymbol{E}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$
	$\displaystyle =\int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$
	$\displaystyle =\int_S\left(- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)$
	$\displaystyle =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \phi\mathrm{d}S$
	$\displaystyle =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$

となる。フラックス $\phi$ は、最初に示した式を使う。すると、

$\displaystyle V=-\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)$

と電圧を求めることができる。電流はオームの法則

より

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\frac{V}{R}$
	$\displaystyle =-\frac{\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)}{R}$

となる。電流の最大値は、 $\omega BS/R$ となり、それぞれ値を代入すると、 1.5[A]になる。

[問2]
図のように幅が $\ell$ で抵抗が無視できる導線に質量抵抗の導線a,b を水平にかけて閉回路をつくる。この閉回路に垂直に一様な静磁場 $\boldsymbol{B}$ をかけて、導線abを自由落下させたとき、その終速度を求めよ。なお、このとき導線間の摩擦力と閉回路内の誘導電流のつくる磁場は無視できるものとする。

$\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/jiyurakka.eps}$

`[`問2]
図のように幅が $\ell$ で抵抗が無視できる導線に質量抵抗の導線a,b を水平にかけて閉回路をつくる。この閉回路に垂直に一様な静磁場 $\boldsymbol{B}$ をかけて、導線abを自由落下させたとき、その終速度を求めよ。なお、このとき導線間の摩擦力と閉回路内の誘導電流のつくる磁場は無視できるものとする。 $\includegraphics[keepaspectratio, scale=1.0]{figure/jiyurakka.eps}$

導線a,bが一番上にあるときとする座標を選び，下に向かうとそれが増加するようにする．すると回路が囲む面積は， $x\ell$ となる．ここを貫く，フラックスは $\phi=x\ell B$ となる．抵抗は，導線a,bのみなので，その間の電圧は，

$\displaystyle V$	$\displaystyle =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$
	$\displaystyle =-\ell Bv$

である．これから，回路に流れる電流は

$\displaystyle I=-\frac{\ell Bv}{R}$

(38)

となる．

この電流が流れることにより，ローレンツ力が発生することになる．ローレンツ力は，となるが，電荷密度 $\rho$ と導線の断面積と長さ $\ell$ を考えると

$\displaystyle F$	$\displaystyle =qvB$
	$\displaystyle =\int \rho vB\mathrm{d}V$
	$\displaystyle =\rho vBS\ell$
	$\rho vS=I$ なので
	$\displaystyle =IB\ell$

と書くことができる．終速度に達した場合，このローレンツ力と重力による力が釣り合うので， $mg+Iv\ell=0$ となる．電流は分かっているので，終速度は，

$\displaystyle v=\frac{Rmg}{B^2\ell^2}$

となる．
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志

Yamamoto Masashi
2005-11-15