5 電磁誘導

[問1]

図のように磁石の間に面積 $S=1.0\times10^{-2}\mathrm{m}^2$ で、抵抗 $R=10\Omega$ の長 方形コイルを設置して、その中心軸のまわりを角速度 $\omega=3\times10^3\mathrm{s}^{-1}$ で回転させる。このとき、コイル内に発生する電 流の強さの最大値はいくらか。なお、磁石の作る磁束密度の強さは $B=0.5\mathrm{T}$ と する。また、コイル内の誘導電流のつくる磁場による効果は無視してよい。

コイルを貫く磁束$\phi$ は、

$$\phi =\int_S B\mathrm{d}S\sin(\omega t+\theta_0)$$

$$=BS\sin(\omega t+\theta_0)$$

と書ける。コイル1周に発生する電圧$V$ は、

$$V =\oint\boldsymbol{E}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$$

$$=\int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

$$=\int_S\left(- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)$$

$$=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \phi\mathrm{d}S$$

$$=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$

となる。フラックス$\phi$ は、最初に示した式を使う。すると、

$$V=-\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)$$

と電圧を求めることができる。電流はオームの法則$V=IR$ より

$$I =\frac{V}{R}$$

$$=-\frac{\omega BS\sin(\omega t+\theta_0)}{R}$$

となる。電流の最大値は、 $\omega BS/R$ となり、それぞれ値を代入すると、 1.5[A]になる。

[問2]

図のように幅が$\ell$ で抵抗が無視できる導線に質量$m$ 抵抗$R$ の導線a,b を水平にか けて閉回路をつくる。この閉回路に垂直に一様な静磁場 $\boldsymbol{B}$ をかけて、導線abを自 由落下させたとき、その終速度を求めよ。なお、このとき導線間の摩擦力と閉回路内の 誘導電流のつくる磁場は無視できるものとする。

導線a,bが一番上にあるとき$x=0$ とする座標を選び，下に向かうとそれが増加するように する．すると回路が囲む面積$S$ は，$x\ell$ となる．ここを貫く，フラックスは $\phi=x\ell B$ となる．抵抗は，導線a,bのみなので，その間の電圧は，

$$V =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$$

$$=-\ell Bv$$

である．これから，回路に流れる電流は

$$I=-\frac{\ell Bv}{R}$$ (38)

となる．

この電流が流れることにより，ローレンツ力が発生することになる．ローレンツ力は， $qvB$ となるが，電荷密度$\rho$ と導線の断面積$S$ と長さ$\ell$ を考えると

$$F =qvB$$

$$=\int \rho vB\mathrm{d}V$$

$$=\rho vBS\ell$$

$$\rho vS=I$$

$$=IB\ell$$

と書くことができる．終速度に達した場合，このローレンツ力と重力による力が釣り合う ので， $mg+Iv\ell=0$ となる．電流は分かっているので，終速度は，

$$v=\frac{Rmg}{B^2\ell^2}$$

となる．
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著者: 山本昌志