6 マクスウェルの方程式

[問1]

微分形のマクスウェルの方程式を示せ。

微分形のマクスウェルの方程式は、以下の通りである。

$$\div{\boldsymbol{D}}=\rho$$

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$$

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$

[問2]

ガウスの定理とストークスの定理を使って、微分形のマクスウェルの方程式を積分形に書き改めよ。

微分形のマクスウェルの方程式は、

$$\div{\boldsymbol{D}}=\rho$$

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{E}=- \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi$$

$$\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+ \if 11 \frac{\partial... ...bol{D}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi$$

である。これらの式を

$$\int_V\div{\boldsymbol{A}}\mathrm{d}V=\int_S\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S ガウスの定理$$

$$\int_S\nabla\times \boldsymbol{A}\mathrm{d}S=\oint\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\ell ストークスの定理$$

を使って、積分形に書き直す。

マクスウェルの方程式の1番目の式の両辺を体積積分を行い、ガウスの定理を使うと

$$\int_V\div{\boldsymbol{D}}\mathrm{d}V=\int_V\rho\mathrm{d}V \Rightarrow \int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=\int_V\rho\mathrm{d}V$$

となり、積分形のガウスの法則が得られる。

同じことをマクスウェルの方程式の2番目の式に施すと

$$\int_V\div{\boldsymbol{B}}\mathrm{d}V=0 \Rightarrow \int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0$$

が得られる。これが磁場に関する積分形のガウスの法則である。

次に、マクスウェルの方程式の番目の式に面積積分を行い、ストークスの定理を使うと

$$\int_S\nabla\times \boldsymbol{E}\mathrm{d}S=\int_S\left(- \if 11... ... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S \Rightarrow \int_C\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

が得られる。これは、積分形で表したファラデーの電磁誘導の法則である。

最後は、マクスウェルの方程式の4番目の式に同じようにストークスの定理を応用すると

$$\int_S\nabla\times \boldsymbol{H}\mathrm{d}S=\int_S\left(\boldsym... ... \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{D}}{\partial t^{1}}\fi \right)\mathrm{d}S \Rightarrow \int_C\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= \int_S\bold... ...frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S$$

が得られる。これは、積分形のアンペール-マクスウェルの法則である。
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著者: 山本昌志