[問1] |
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自由空間中のマクスウェルの方程式を示せ。
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自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式の中で、
、
とすればよい。すると、自由空間での電磁場を表すマクスウェルの方程式
が得られる。
[問2] |
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自由空間中のマクスウェルの方程式から、以下の波動方程式を導け。
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自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式は
となる。
この式のうち3番目のものの両辺に回転の演算子を作用させると、
0 |
![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{B})$](img239.png) |
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マクスウェルの方程式の4番目の式)より |
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![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if ...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img240.png) |
(39) |
となり、電場のみの式にできる。ここで、右辺第一項であるが、これはベクトル恒等式
![$ \nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$](img241.png)
を使い、
0 |
![$\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{E}})-\nabla^2\boldsymbol{E} +\varepsilo...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img242.png) |
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マクスウェルの方程式の1番目の式より |
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![$\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$](img243.png) |
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と変形できる。これで、電場のみの式となった。
同様のことを磁場について行う。マクスウェルの方程式の4番目の式の両辺の回転の演算
子を作用させると
0 |
![$\displaystyle =\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if ...
... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{E})$](img244.png) |
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とマクスウェルの方程式の3番目の式より |
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![$\displaystyle =\nabla (\div{\boldsymbol{B}})-\nabla^2\boldsymbol{B} +\varepsilo...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$](img246.png) |
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マクスウェルの方程式の2番目の式より |
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![$\displaystyle =-\nabla^2\boldsymbol{B}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial...
...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$](img247.png) |
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が得られる。
以上の操作により得られた電場と磁場の式を整理すると、
が得られる。
ホームページ:
Yamamoto's laboratory著者:
山本昌志
Yamamoto Masashi
2005-11-15