7 波動方程式

[問1]

自由空間中のマクスウェルの方程式を示せ。

自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式の中で、$\rho=0$ 、 $\boldsymbol{j}=0$ とすればよい。すると、自由空間での電磁場を表すマクスウェルの方程式

$$\div{\boldsymbol{E}}=0$$

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 11 \frac{\part... ...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi =0$$

が得られる。

[問2]

自由空間中のマクスウェルの方程式から、以下の波動方程式を導け。

$$\nabla^2\boldsymbol{E}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \... ...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi =0$$

$$\nabla^2\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \... ...{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi =0$$

自由空間では、電流や電荷はない。したがって、マクスウェルの方程式は

$$\div{\boldsymbol{E}}=0$$

$$\div{\boldsymbol{B}}=0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{B}}{\partial t^{1}}\fi =0$$

$$\nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 11 \frac{\part... ...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{1} \boldsymbol{E}}{\partial t^{1}}\fi =0$$

となる。

この式のうち3番目のものの両辺に回転の演算子を作用させると、

$$=\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+ \if 11 \frac{\partial ... ... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{B})$$ 0    マクスウェルの方程式の4番目の式)より

$$=\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if ... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$$ (39)

となり、電場のみの式にできる。ここで、右辺第一項であるが、これはベクトル恒等式 $\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$ を使い、

$$=\nabla (\div{\boldsymbol{E}})-\nabla^2\boldsymbol{E} +\varepsilo... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$$ 0    マクスウェルの方程式の1番目の式より

$$=-\nabla^2\boldsymbol{E}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial... ...bol{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi$$

と変形できる。これで、電場のみの式となった。

同様のことを磁場について行う。マクスウェルの方程式の4番目の式の両辺の回転の演算 子を作用させると

$$=\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if ... ... t} \else \frac{\partial^{1} }{\partial t^{1}}\fi (\nabla\times \boldsymbol{E})$$ 0

$$\qquad\qquad\nabla\times \nabla\times \boldsymbol{A}=\nabla (\div{\boldsymbol{A}})-\nabla^2\boldsymbol{A}$$

$$=\nabla (\div{\boldsymbol{B}})-\nabla^2\boldsymbol{B} +\varepsilo... ...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$$    マクスウェルの方程式の2番目の式より

$$=-\nabla^2\boldsymbol{B}+\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial... ...bol{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi$$

が得られる。

以上の操作により得られた電場と磁場の式を整理すると、

$$\nabla^2\boldsymbol{E}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \... ...{E}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{E}}{\partial t^{2}}\fi =0$$

$$\nabla^2\boldsymbol{B}-\varepsilon_0\mu_0 \if 12 \frac{\partial \... ...{B}}{\partial t} \else \frac{\partial^{2} \boldsymbol{B}}{\partial t^{2}}\fi =0$$

が得られる。
ホームページ: Yamamoto's laboratory
著者: 山本昌志