2 位取り記数法

2.1 数の表現

通常使われている10進数では，0〜9までの10個の数字を使って，数を表現する．9の次 は10で桁が上がる．10進数以外にいろいろな数の数え方がある．2進数，10進数，16進数 の数の表現を図1に示す．合わせて，桁上がりという考えの無 い漢字や楔形文字，ローマ数字も併記する．桁上がりという考えが無い表記の場合，桁が 上がるたびに，新しい記号が必要であることがわかる．大きな数字を表す場 合，非常に不便である．また，筆算を用いた計算もできない．

図 1: 数の数え方

2.2 現代の数の表現(位取り記数法)

現代の便利な数の表現は桁上がりの考えがあるからこそである．この桁上がりの考えは，ゼロ が発見されたので可能となった．このように桁上がりの考えで，数を示すのが位取り記数 法(place value sysytem)である．10進数は9の次で桁上がりが生じ10となる．0〜9の数字を使っ て，数を表すのである．この10を基数と，0〜9間での数を底と言う．10進数の他，いろい ろの基数の数が考えられるが，コンピューター科学で使われるのは，主に2進数と16進数であ る．それぞれの基数と底を表1に示す．

表 1: 基数と底

数の表現	基数	底
2進法	2	0, 1
10進法	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16進法	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

図1や表1から，自然数の数え方は理解 できたと思う．そうすると相互の変換ができれば，ある程度それを応用することができる ようになる．それぞれの変換を考える前に，数の表記方法について，勉強することにする． 位取り記数法での数の表し方が理解できれば，それぞれの変換が分かるはずである．

例えば，今年は2007年である．10進法の2007の表記はどのような意味があるか?． これは，次のように解釈する．大げさではあるが，こう解釈すると，他の基数の数字の意 味はっきりする．

$$(2007)_{10}=(2\times 10^3+0\times 10^2+0\times 10^2+7\times 10^0)_{10}$$ (1)

括弧の下の10は10進法の意味で，非常に簡単な話である．これさえ，分かれば基数の変換 なんか，怖くない．この式の右辺の$\times$と$10^p$をとって，それを並べたのが位取り 記数法である．

コーヒーブレイク ゼロがない時代は，大変だった．ゼロが無いと，式(1)の左 辺のような表記は出来ない．その0(ゼロ)が発見されたのは，6世紀頃のインドと言われ ている．西暦0年がないのは，このためである．キリストが生まれた頃は，ゼロがなかっ たのである．

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著者: 山本昌志